Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Odgovor:

# {: ("Kritična točka", "Zaključek"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Pojasnilo:

Teorija za identifikacijo ekstremov # z = f (x, y) # je:

Rešite hkrati kritične enačbe

# (delno f) / (delno x) = (delno f) / (delno y) = 0 t (tj # z_x = z_y = 0 #)
Ocenite #f_ (x x), f_ (yy) in f_ (xy) (= f_ (yx)) # na vsaki od teh kritičnih točk. Zato ovrednotite # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # na vsaki od teh točk
Določite naravo ekstremov;

# {: (Delta> 0, "Najmanjši je" f_ (xx) <0), (, "in maksimum, če" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "sedlo je točka")), (Delta = 0, "Potrebna je nadaljnja analiza"):} #

Torej imamo:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Najdemo prve delne derivate:

# (delno f) / (delno x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (delno f) / (delno y) = 2xy + 2y #

Zato so naše kritične enačbe:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Iz druge enačbe imamo:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # v Prvo enačbo in dobimo:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2

Subs # y = 0 # v Prvo enačbo in dobimo:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

In tako smo štiri kritične točke s koordinatami;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Torej, zdaj poglejmo druge delne derivate, da lahko določimo naravo kritičnih točk:

(delno ^ 2f) / (delno x ^ 2) = 12x + 10 #

(delno ^ 2f) / (delno y ^ 2) = 2x + 2 #

# (delno ^ 2f) / (delno x delno y) = 2y (= (delno ^ 2f) / (delno y delno x)) #

Izračunati moramo:

# Delta = (delno ^ 2f) / (delno x ^ 2) (delno ^ 2f) / (delno y ^ 2) - ((delno ^ 2f) / (delno x delno y)) ^ 2 #

na vsaki kritični točki. Vrednosti drugega delnega izpeljaka, # Delta #in zaključek je naslednji:

# {: ("Kritična točka", (delno ^ 2f) / (delno x ^ 2), (delno ^ 2f) / (delno y ^ 2), (delno ^ 2f) / (delno x delno y), Delta, "Zaključek"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "sedlo"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "sedlo"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Te kritične točke lahko vidimo, če pogledamo 3D ploskev: