Kako dokazujete arcsin x + arccos x = pi / 2?

Odgovor:

kot je prikazano

Pojasnilo:

Let

# arcsinx = theta #

potem

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Odgovor:

Izjava je resnična, ko se inverzne trigonomske funkcije nanašajo na glavne vrednosti, vendar pa je za to potrebno bolj pozorno prikazati, kot določa drugi odgovor.

Ko se inverzne trigonomske funkcije štejejo za več vrednostne, dobimo na primer bolj niansiran rezultat

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # ampak #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Da bi dobili, moramo odšteti # pi / 2 #.

Pojasnilo:

Ta je težji, kot izgleda. Drugi odgovor mu ne plača ustreznega spoštovanja.

Splošna konvencija je uporaba majhne črke #arccos (x) # in #arcsin (x) # kot večvredne izraze, od katerih vsak označi vse vrednosti, katerih kosinus ali sinus ima dano vrednost # x #.

Pomen vsote teh je resnično vsaka možna kombinacija in ti ne bi vedno dali # pi / 2. # Niti ne bodo imeli niti enega od kote # pi / 2 + 2pi k quad # celo število # k #, kot bomo zdaj pokazali.

Poglejmo, kako najprej deluje z večvalnimi inverznimi trigonomskimi funkcijami. Ne pozabite na splošno cos x = cos a # ima rešitve # x = pm a + 2pi k quad # celo število # k #.

# c = arccos x # resnično pomeni

#x = cos c #

#s = arcsin x # resnično pomeni

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # igra vlogo pravega parametra, ki se premika od #-1# do #1#. Radi bi rešili # y #, poiščite vse možne vrednosti # y # ki imajo #x, s # in # c # to omogoča sočasne enačbe #x = cos c, x = sin s, y = s + c # prav.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Uporabljamo zgornjo splošno rešitev o enakosti kosinusov.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # celo število # k #

# s c = pi / 2 - 2pi k #

Torej dobimo veliko bolj nejasen rezultat, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Dovoljeno je, da znak vklopite # k. #)

Osredotočimo se zdaj na glavne vrednote, ki jih pišem z velikimi črkami:

Pokaži #text {Arc} besedilo {sin} (x) + besedilo {Arc} besedilo {cos} (x) = pi / 2 #

Izjava je resnična za glavne vrednosti, določene na običajen način.

Vsota je definirana samo (dokler ne dobimo precej globoko v kompleksne številke) za # -1 le x le 1 # ker so v tem območju veljavni sinusi in kosinusi.

Pogledali bomo vsako stran ekvivalenta

# text {Arc} besedilo {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - besedilo {Arc} text {sin} (x) #

Vzeli bomo kosinus obeh strani.

#cos (besedilo {Arc} besedilo {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - besedilo {Arc} besedilo {sin} (x)) = sin (besedilo {Arc} text {sin} (x)) = x #

Torej brez skrbi za znake ali glavne vrednosti smo prepričani

#cos (besedilo {Arc} besedilo {cos} (x)) = cos (pi / 2 - besedilo {Arc} text {sin} (x)) #

Nenavaden del, del, ki si zasluži spoštovanje, je naslednji korak:

#text {Arc} besedilo {cos} (x) = pi / 2 - besedilo {Arc} text {sin} (x) quad # NISEM ŠE PREPRIČAN

Previdno moramo stopati. Vzemimo pozitivno in negativno # x # ločeno.

Prvič # 0 le x le 1 #. To pomeni, da so glavne vrednosti obeh obratnih trigonomskih funkcij v prvem kvadrantu, med #0# in # pi / 2. # Omejeni na prvi kvadrant enaki kosinusi pomenijo enake kote, zato sklepamo za #x ge 0, #

#text {Arc} besedilo {cos} (x) = pi / 2 - besedilo {Arc} text {sin} (x) quad #

Zdaj # -1 le x <0. # Glavna vrednost inverznega znaka je v četrtem kvadrantu in za #x <0 # navadno definiramo glavno vrednost v območju

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - besedilo {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - besedilo {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - besedilo {Arc} besedilo {sin} (x) le pi #

Glavna vrednost za negativni inverzni kosinus je drugi kvadrant, # pi / 2 <besedilo {Arc} besedilo {cos} (x) le pi #

Torej imamo v drugem kvadrantu dva kota, katerih kosinusi so enaki in lahko zaključimo, da so koti enaki. Za #x <0 #, #text {Arc} besedilo {cos} (x) = pi / 2 - besedilo {Arc} text {sin} (x) quad #

Tako ali tako, # text {Arc} besedilo {sin} (x) + besedilo {Arc} besedilo {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #