Kako to izračunati? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Primer

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Na žalost funkcija znotraj integrala ne bo integrirana v nekaj, kar ne more biti izraženo z elementarnimi funkcijami. Za to boste morali uporabiti numerične metode.

Lahko vam pokažem, kako uporabiti razširitev serije, da dobite približna vrednost.

Začnite z geometrijsko serijo:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # za # rlt1 #

Zdaj se vključite v zvezi z # r # in uporabo omejitev #0# in # x # da bi dobili to:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Vključitev leve strani:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Zdaj integrirajte desni del z vključitvijo izraza po izrazu:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Iz tega sledi, da:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Sedaj delite s # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Torej imamo zdaj izraz za močnostno funkcijo za funkcijo, s katero smo prvotno začeli. Nazadnje se lahko ponovno vključimo, da dobimo:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Vključevanje izraza »desna roka« s strani strani nam daje:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Vrednotenje omejitev na štiri izraze nam bo dalo približno vrednost:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Sedaj je to le štiri. Če želite natančnejšo številko, preprosto uporabite več izrazov v seriji. Na primer, na 100. izraz:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498

Če delamo na isti način, vendar uporabimo zapis o seštevanju (tj. Z velikim sigmom, namesto da zapišemo pogoje serije), ugotovimo, da:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

ki je samo funkcija Riemann-Zeta 2, tj.

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Dejansko že vemo, da je vrednost tega: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Torej je mogoče natančno določiti vrednost integrala:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #

To je primer prenosa toplote s čimer? + Primer

To je konvekcija. Dictionary.com opredeljuje konvekcijo kot "prenos toplote s cirkulacijo ali premikanjem ogrevanih delov tekočine ali plina." Zadevni plin je zrak. Konvekcija ne zahteva gora, toda ta primer jih ima.

Kaj je derivat f (x) = log (x) / x? + Primer

Izpelj je f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. To je primer pravila za količnik: Quotient Rule. Pravilo količnika določa, da je izpeljava funkcije f (x) = (u (x)) / (v (x)): f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x) ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Konkretno rečeno: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, kjer sta u in v funkcije (posebej, števec in imenovalec prvotne funkcije f (x)). V tem specifičnem primeru bi pustili u = logx in v = x. Zato je u '= 1 / x in v' = 1. Če te rezultate nadomestimo s kvocijevnim pravilom, najdemo: f '(x) = (x xx 1 / x-logx xx 1) / x ^ 2 f' (x) = (1-logx) / x ^ 2.

Kaj je naravni log nič? + Primer

Težko! To je težavno vprašanje, ker nimate edinstvenega odgovora ... Mislim, nimate odgovora, kot je: "rezultat je 3". Težava je tu v definiciji log: log_ax = b -> x = a ^ b tako, da v bistvu z dnevnikom iščete določen eksponent, ki vam, ko dvignete bazo, dobi integrand. Zdaj, v vašem primeru imate: log_e0 = ln0 = b kjer je ln način, da označite naravni dnevnik ali prijavite bazo e. Ampak kako najti pravo vrednost b tako, da e ^ b = 0 ???? Pravzaprav ne deluje ... ne morete ga najti ... ne morete se dvigniti do moči številke in dobiti nič! Če poskusite s pozitivnim b, ne deluje (postane večji in ne nič); za b