Vprašanje # 35a7e

Odgovor:

Kot je navedeno v spodnjih komentarjih, je to serija MacLaurin za #f (x) = cos (x) #, in vemo, da se to konvergira # (- oo, oo) #. Vendar, če ste želeli videti proces:

Pojasnilo:

Ker imamo v imenovalcu faktorialno, uporabljamo test razmerja, ker je zaradi tega poenostavitve nekoliko lažje. Ta formula je:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Če je to <1, se vaša serija konvergira

Če je to> 1, se vaša serija razlikuje

Če je to = 1, je vaš test nejasen

Torej, naredimo to:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Opomba: Bodite zelo previdni pri tem, kako priključite svoj (k + 1). 2k se spremeni v 2 (k + 1), NE 2k + 1.

Pomnožil sem se z vzajemnostjo # x ^ (2k) / ((2k)!) # Namesto da bi delili, da bi bilo delo nekoliko lažje.

Zdaj pa, algebro. Zaradi absolutne vrednosti so naši izmenični izrazi (tj. # (- 1) ^ k #), bodo samo odpovedali, saj bomo vedno imeli pozitiven odgovor:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Lahko prekličemo našo # x ^ (2k) #:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Zdaj moramo preklicati faktorije.

Spomnimo se tega # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Tudi, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Opaziti:

# (2k)! = barva (rdeča) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * barva (rdeča) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Kot lahko vidite, mi # (2k)! # je v bistvu del # (2k + 2)!. S tem lahko prekličemo vsak skupni izraz:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Prekliči (barva (rdeča) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * preklic (barva (rdeča) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

To pusti

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Zdaj lahko ovrednotimo to mejo. Upoštevajte, da to omejitev ne upoštevamo # x #, lahko to ugotovimo:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Torej, kot lahko vidite, je ta omejitev = 0, kar je manj kot 1. Sedaj se vprašamo: ali obstaja kakšna vrednost # x # za katero bi bila ta meja 1? Odgovor je ne, saj je vse, kar je pomnoženo z 0, 0.

Torej, od takrat #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # za vse vrednosti. t # x #, lahko rečemo, da ima interval konvergence. t # (- oo, oo) #.

Upam, da je to pomagalo:)