Kaj je integral int tan ^ 4x dx?

Odgovor:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Pojasnilo:

Reševanje trigenerativnih sredstev običajno vključuje razbijanje integrala navzdol, da bi uporabili pitagorejske identitete, in jih uporabili # u #- zamenjava. Točno to bomo naredili tukaj.

Začnite s ponovnim zapisovanjem # inttan ^ 4xdx # kot # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Zdaj lahko uporabimo Pitagorejsko identiteto # tan ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #, ali # tan ^ 2x = sek ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Razdeljevanje # tan ^ 2x #:

#barva (bela) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Uporaba pravila za vsoto:

#barva (bela) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Te integrale bomo ocenili enega za drugim.

Prvi Integral

Ta je rešen z uporabo a # u #- zamenjava:

Let # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

Uporaba zamenjave, #barva (bela) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#barva (bela) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Ker # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Drugi Integral

Ker res ne vemo kaj # inttan ^ 2xdx # je tako, da samo pogledate, poskusite uporabiti # tan ^ 2 = sek ^ 2x-1 # identiteta:

# inttan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) dx #

S pravilom o seštevku se integral seštevamo na:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

Prvi od teh, # intsec ^ 2xdx #, je prav # tanx + C #. Drugi, tako imenovani "popolni integral", je preprosto # x + C #. Vse skupaj lahko rečemo:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

In zato # C + C # je le še ena poljubna konstanta, jo lahko združimo v splošno konstanto # C #:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

S kombinacijo obeh rezultatov imamo:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Spet, ker # C + C # je konstanta, lahko jih združimo v eno # C #.

Kaj je integral int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Naš velik problem v tem integralu je koren, zato se ga želimo znebiti. To lahko naredimo z uvedbo zamenjave u = sqrt (2x-1). Derivat je torej (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Torej delimo s (in zapomnimo, delimo z recipročnostjo je isto kot pomnožimo s samo imenovalcem), da se integriramo glede na u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / preklic (sqrt (2x-1)) preklic (sqrt (2x-1)) du = int t ^ 2-1 Vse kar moramo storiti je, da izrazimo x ^ 2 v smislu u (ker ne morete integrirati x glede na u): u = sqrt (2x-1) u ^ 2 = 2x- 1

Kaj je integral int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Najprej nadomestimo: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1). druga substitucija: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split z uporabo delnih frakcij: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Zdaj imamo: -1 / (2 (v + 1))

Kaj je integral int tan ^ 5 (x)?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Poznavanje dejstva, da tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, ga lahko ponovno napišemo kot int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, ki prinaša int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sek ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Prvi integral: Naj bo u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Drugi integral: Naj bo u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Zato int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx upoštevajte, da je int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, kar nam daje 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Zamenjava u nazaj v izraz na