Zakaj faktoriali ne obstajajo za negativna števila?

Odgovor:

Če bi obstajala, bi obstajalo protislovje z njegovo funkcijo.

Pojasnilo:

Ena od glavnih praktičnih uporab faktorije je, da vam podamo število načinov za preureditev predmetov. Ne morete permutirati #-2# predmetov, ker ne morete imeti manj kot #0# predmeti!

Odgovor:

Odvisno od tega, kaj misliš …

Pojasnilo:

Faktorije so definirane za cele številke na naslednji način:

#0! = 1#

# (n + 1)! = (n + 1) n!

To nam omogoča, da definiramo, kaj mislimo s "Factorial" za katero koli ne-negativno celo število.

Kako se lahko ta opredelitev razširi na druge številke?

Funkcija gama

Ali obstaja kontinuirana funkcija, ki nam omogoča, da se "pridružimo pikam" in definiramo "Factorial" za katero koli ne-negativno realno število?

Da.

# Gama (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

To kažejo integracije po delih #Gamma (t + 1) = t Gama (t) #

Za pozitivna cela števila # n # najdemo #Gamma (n) = (n-1)! #

Lahko razširimo definicijo #Gamma (t) # z uporabo negativnih številk #Gamma (t) = (gama (t + 1)) / t #, razen v primeru #t = 0 #.

Žal to pomeni #Gamma (t) # ni opredeljeno, kdaj # t # je nič ali negativno celo število. The # Gama # funkcija ima preprost pol #0# in negativna cela števila.

Druge možnosti

Ali obstajajo druge razširitve »Factorial«, ki imajo vrednosti za negativna cela števila?

Da.

Rimski faktorij je opredeljen na naslednji način:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, če n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), če je n < 0):} #

Ta je poimenovan po matematiku S. Romanu, ne pa po Rimljanih, in je uporabljen, da zagotovi priročno notacijo za koeficiente harmoničnega logaritma.