Dokaži, da je Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Otroška postelja x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Desna stran:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = postelja x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Leva stran:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = postelja (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Enaki so #quad sqrt #

Odgovor:

Faktorska formula (identiteta Sum-to-Product in Product-to-Sum)

Pojasnilo:

Za to vprašanje lahko uporabimo Sum-to-Product in Izdelek za vsoto identitete.

Jaz sem lena, zato tukaj je slika identitet.

Zgoraj omenjeno formulo za vsoto lahko dobimo s sestavljenimi kotnimi identitetami.

Uporaba zamenjave #alpha = a + b # in #beta = a - b #, lahko dobimo naslednje formule za vsoto izdelkov.

Zdaj, ko smo to uredili, uporabimo naše formule.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = cot (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = posteljica (x) (sin (5x) - sin (3x)) #

Lahko pa uporabite tudi formulo vsota na izdelek na desni strani:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS.

# QED #