Kako najdete predstavitev močnostnega niza za (arctan (x)) / (x) in kakšen je polmer konvergence?

Odgovor:

Integrirajte močnostni niz izpeljave iz #arctan (x) # potem delite s # x #.

Pojasnilo:

Poznamo predstavitev močnostnih serij # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # tako, da #absx <1 #. Torej # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Torej moč serija #arctan (x) # je #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Razdelite ga # x #, boste ugotovili, da je moč serije #arctan (x) / x # je #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Recimo #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Da bi našli polmer konvergence te močnostne serije, ovrednotimo #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Torej, če želimo, da se serija moči približa, potrebujemo #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, tako da se bo serija približala, če #absx <1 #, kar ni presenetljivo, saj je polmer konvergence močnostnih serijskih predstav #arctan (x) #.