Odgovor:
Ni rešitev v # RR #.
Pojasnilo:
Najprej poenostavimo:
Kot # e ^ x # in #ln (x) # so inverzne funkcije, # e ^ ln (x) = x # kot tudi #ln (e ^ x) = x #. To pomeni, da lahko svoj tretji logaritmični izraz poenostavite:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Vaš naslednji cilj je, da prinesete vse # log # funkcije na isto bazo, tako da imate možnost, da uporabite logaritemska pravila na njih in poenostavite.
Baza logaritmov lahko spremenite takole:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Uporabimo to pravilo za spremembo baze #8# od # log_8 # in bazo #32# od # log_32 # do baze #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Zdaj lahko izračunamo # log_2 (8) = 3 # in # log_2 (32) = 5 #
(v primeru, da ni jasno, naj se razčlenim samo zato, da se prepričam: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
To nas vodi do naslednje, enostavnejše, logaritmične enačbe:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… pomnožite obe strani z #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Zdaj smo pripravljeni za uporabo logaritemskih pravil:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # in #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Cilj je imeti samo enega # log # na levi strani. Naredimo to.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
Na tej točki se lahko znebimo # log_2 (a) # z uporabo inverzne funkcije # 2 ^ a # na obeh straneh enačbe.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Na žalost moram priznati, da sem obtičal v tem trenutku, ker ne vem, kako rešiti to enačbo.
Vendar pa načrtovanje #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # mi pravi, da ta enačba nima rešitev v. t # RR #.
graf {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Upam, da je to malo pomagalo!
