Četrta moč skupne razlike aritmetične progresije je s celoštevilskimi vnosi dodana izdelku vseh štirih zaporednih izrazov. Dokaži, da je dobljena vsota kvadrat celega števila?

Naj bo skupna razlika AP celih števil # 2d #.

Vsakih štiri zaporedne pogoje napredovanja lahko predstavimo kot # a-3d, a-d, a + d in a + 3d #, kje # a # je celo število.

Torej vsota produktov teh štirih izrazov in četrte moči skupne razlike # (2d) ^ 4 # bo

# = barva (modra) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + barva (rdeča) ((2d) ^ 4) #

# = barva (modra) ((^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + barva (rdeča) (16d ^ 4) #

# = barva (modra) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + barva (rdeča) (16d ^ 4) #

# = barva (zelena) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = barva (zelena) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, ki je popoln kvadrat.

Število 3x3 ne singularnih matrik s štirimi vnosi kot 1 in vsemi drugimi vnosi je 0, je? a) 5 b) 6 c) najmanj 7 d) manj kot 4

Obstaja natanko 36 takih ne-singularnih matrik, tako da je c) pravilen odgovor. Najprej upoštevajte število ne-singularnih matrik s 3 vnosi 1 in ostalimi 0. V vsaki vrstici in stolpcu morajo imeti eno 1, zato so edine možnosti: ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) "" ((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)) "" ((0, 1, 0) , (1, 0, 0), (0, 0, 1)) ((0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)) "" ((0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)) "" ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)) Za vsako od teh 6 možnosti lahko naredimo eno od preostalih šestih 0 v 1. To so vse razločljive. Tako je skupaj 6 xx 6 = 36 ne-edinstvenih 3xx3 m

Tri od štirih številk imajo vsoto 22. Če je povprečje štirih številk 8, kakšna je četrta številka?

10 Uporabil bom x za predstavitev neznane četrte številke. Povprečje se najde z dodajanjem števil skupaj, nato pa z deljenjem s količino števil (22 + x) / 4 = 8 rarr Vsota je 22 + x (22 je vsota prvih treh številk, dodajte x, da bo vsota štirih številk), skupaj so štiri številke, tako da jih delimo s 4 22 + x = 32 rarr Vsota štirih števil je 32 x = 10 rarr Četrto število je 10

Tri od štirih številk imajo vsoto 22. Če je povprečje štirih številk S, kakšna je četrta številka?

Četrta številka je 4S - 22. Pokličite številke w, x, y in z. w + x + y = 22 IN (w + x + y + z) / 4 = S To pomeni, da je w + x + y + z = 4S in da je z = 4S - w - x - yz = 4S - (w +) x + y) z = 4s - 22 Upam, da to pomaga!