Kakšne so rešitve za (z-1) ^ 3 = 8i?

Odgovor:

#z v {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Pojasnilo:

Za ta problem, bomo morali vedeti, kako najti # n ^ "th" # korenine kompleksnega števila. Za to bomo uporabili identiteto

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Zaradi te identitete lahko predstavimo katero koli kompleksno število kot

# a + bi = Re ^ (itheta) # kje #R = sqrt (^ 2 + b ^ 2) # in #theta = arctan (b / a) #

Zdaj bomo šli čez korake, da bi našli # 3 ^ "rd" # korenine kompleksnega števila # a + bi #. Koraki za iskanje # n ^ "th" # korenine so podobne.

Glede na # a + bi = Re ^ (itheta) # iščemo vse kompleksne številke # z # tako, da

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Kot # z # je kompleksno število, obstaja # R_0 # in # theta_0 # tako, da

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Potem pa

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Tako smo takoj # R_0 = R ^ (1/3) #. Prav tako lahko izenačimo eksponente # e #, vendar opažamo, da so sinusni in kosinus periodični z obdobjem # 2pi #, nato iz prvotne identitete, # e ^ (itheta) # bo tudi. Potem imamo

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # kje #k v ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # kje #k v ZZ #

Vendar, kot da bi še naprej dodajali # 2pi # Znova in znova, bomo imeli enake vrednosti, lahko prezremo redundantne vrednosti z dodajanjem omejitve # theta_0 v 0, 2pi) #, to je, #k v {0, 1, 2} #

Vse skupaj združimo in dobimo rešitev

#z v {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

To lahko pretvorimo nazaj # a + bi # po želji uporabite identiteto

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Uporaba zgoraj navedenega za problem:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Z uporabo zgornjega postopka lahko najdemo # 3 ^ "rd" # korenine #jaz#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) v {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Uporaba # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # imamo

# i ^ (1/3) v {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Končno nadomestimo te vrednosti za #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z v {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Diskriminant kvadratne enačbe je -5. Kateri odgovor opisuje število in vrsto rešitev enačbe: 1 kompleksna rešitev 2 realne rešitve 2 kompleksne rešitve 1 prava rešitev?

Vaša kvadratna enačba ima dve kompleksni rešitvi. Diskriminant kvadratne enačbe nam lahko da samo informacije o enačbi oblike: y = ax ^ 2 + bx + c ali parabola. Ker je najvišja stopnja tega polinoma 2, mora imeti največ dve rešitvi. Diskriminant je preprosto tista pod simbolom kvadratnega korena (+ -sqrt ("")), ne pa tudi simbol kvadratnega korena. + -sqrt (b ^ 2-4ac) Če je diskriminantni, b ^ 2-4ac, manjši od nič (tj. vsako negativno število), potem bi imeli pod kvadratnim korenom simbol negativen. Negativne vrednosti pod kvadratnimi koreninami so kompleksne rešitve. Simbol + označuje, da obstaja rešitev + in re

Rešitve y ^ 2 + z + c = 0 so recipročne rešitve x ^ 2-7x + 12 = 0. Poišči vrednost b + c?

B + c = -1/2 Glede na: x ^ 2-7x + 12 = 0 Deljeno z 12x ^ 2, da dobimo: 1 / 12-7 / 12 (1 / x) + (1 / x) ^ 2 = 0 Torej, če postavimo y = 1 / x in prenesemo, dobimo: y ^ 2-7 / 12y + 1/12 = 0 Torej b = -7/12 in c = 1/12 b + c = -7 / 12 + 1 / 12 = -6/12 = -1/2

Kakšne so rešitve za "tragedijo skupnega blaga"?

Za določitev tragedije skupnega blaga je potrebna odgovornost ali skupna identiteta in skupni vir. Drevesa so bila osrednji pašnik, ki so ga delili vsi ljudje tradicionalne angleške vasi. Zaradi pohlepa je veliko ljudi želelo pasti več ovac, kot bi jih lahko podpirali skupni pašniki. Skupni pašnik je bil uničen in na koncu ni mogel podpreti nobene ovce. Ena od rešitev je odgovornost, kjer je vsaka oseba omejena na količino skupnega vira, do katerega lahko dostopajo. To pogosto zahteva določeno stopnjo vladnega nadzora. Druga rešitev je skupna identiteta, kot je uspešen kibuc v Izraelu. Posamezna pohlep se preverja s skupin