Kaj je kvadratni koren 5?

Kvadratni koren iz #5# ne more biti poenostavljen oče, kot je že, zato tukaj je # sqrt5 # na deset decimalnih mest:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Odgovor:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~ ~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # je iracionalna številka.

Pojasnilo:

Vsa pozitivna števila imajo običajno dva kvadratna korena, pozitivno in negativno enake velikosti. Označujemo pozitivni (a.k.a. principal) kvadratni koren iz # n # jo #sqrt (n) #.

Kvadratni koren številke # n # je številka # x # tako, da # x ^ 2 = n #. Torej če # x ^ 2 = n # potem tudi # (- x) ^ 2 = n #.

Vendar je priljubljena uporaba tega, da se "kvadratni koren" nanaša na pozitivni.

Recimo, da imamo pozitivno število # x # ki izpolnjuje:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Potem pomnožimo obe strani z # (2 + x) # dobimo:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Potem odštevanje # 2x # z obeh strani dobimo:

# x ^ 2 = 5 #

Tako smo našli:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#barva (bela) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Če se ta stalna frakcija ne konča, lahko to povemo #sqrt (5) # ne more biti predstavljena kot zaključna frakcija - to je racionalna številka. Torej #sqrt (5) # je iracionalna številka malo manjša od #2 1/4 = 9/4#. Za boljše razumne približke lahko prekinete nadaljevanje frakcije po več izrazih.

Na primer:

#sqrt (5) ~ ~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Razpakiranje teh nadaljnjih frakcij je lahko malce dolgočasno, zato na splošno raje uporabljam drugačno metodo, in sicer omejevalno razmerje celoštevilskega zaporedja, ki je rekurzivno definirano.

Določite zaporedje z:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Prvih nekaj izrazov je:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Razmerje med izrazi bo težilo k temu # 2 + sqrt (5) #.

Torej najdemo:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #