Kakšna je razdalja med (0, 0, 8) in (9, 2, 0)?

Odgovor:

Razdalja je #sqrt (149) #

Pojasnilo:

Razdalja med dvema točkama

# (x_1, y_1, z_1) #

in

# (x_2, y_2, z_2) #

v # RR ^ 3 # (tri dimenzije)

# "razdalja" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Če ga uporabimo za trenutni problem, dobimo razdaljo #(0, 0, 8)# in #(9, 2, 0)# kot

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

V nadaljevanju je razlaga, od kod prihaja formula za razdaljo, in ni potrebna za razumevanje zgornje rešitve.

Zgoraj navedena formula za razdaljo je sumljivo podobna formuli razdalje v # RR ^ 2 # (dve dimenziji):

# "razdalja" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

ki izhaja iz preproste uporabe Pitagorejevega izreka, tako da narišemo pravokoten trikotnik med dvema točkama, pri čemer so noge paralelne z # x # in # y # osi.

Izkazalo se je, da # RR ^ 3 # različica je mogoče izpeljati na podoben način. Če uporabimo (največ) 3 vrstice za povezavo dveh točk, vzporedno z. T # x #, # y #, in # z # osi, dobimo škatlo s točkami na nasprotnih vogalih. Torej, ugotovimo, kako izračunati razdaljo po diagonali polja.

Poskušamo ugotoviti dolžino rdeče črte #color (rdeča) (AD) #

Ker je to hipotenuza trikotnika # ABD #, iz Pitagorejevega izreka:

# (barva (rdeča) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (barva (modra) (BC)) ^ 2 #

# => barva (rdeča) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (barva (modra) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Na žalost nimamo dolžine #barva (modra) (BD) # kot dano. Da bi ga dobili, moramo ponovno uporabiti Pitagorov izrek, tokrat v trikotnik # BCD #.

# (barva (modra) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Ker potrebujemo samo kvadrat #barva (modra) (BD) #, zdaj lahko nadomestimo # ("ii") # v #("jaz")#:

#barva (rdeča) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Končno, če imamo # A # na # (x_1, y_1, z_1) # in # D # na # (x_2, y_2, z_2) #, potem imamo dolžine

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Če jih nadomestimo z zgornjim, dobimo želeni rezultat.

Kot dodatno opombo, medtem ko lahko preprosto naredimo geometrijske dokaze v do 3 dimenzijah, imajo matematiki splošno razdaljo v # RR ^ n # (# n # dimenzije). Razdalja med

# (x_1, x_2, …, x_n) # in # (y_1, y_2, …, y_n) # je opredeljen kot

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

ki ustreza vzorcu iz # RR ^ 2 # in # RR ^ 3 #.