Prosim pomagajte. Nisem prepričan, kako to storiti hitro, ne da bi vse to pomnožil?

Odgovor:

Odgovor na (jaz) je #240#.

Odgovor na (ii) je #200#.

Pojasnilo:

To lahko naredimo z uporabo Pascalovega trikotnika, prikazanega spodaj.

(jaz)

Ker je eksponent #6#, moramo uporabiti šesto vrstico v trikotniku, ki vključuje #barva (vijolična) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # in #color (vijolična) 1 #. V bistvu bomo uporabili #color (modra) 1 # kot prvi mandat in #barva (rdeča) (2x) # kot drugo. Potem lahko ustvarimo naslednjo enačbo. Eksponent prvega obdobja se poveča za #1# vsakič in eksponent drugega mandata se zmanjša za #1# z vsakim izrazom iz trikotnika.

# (barva (vijolična) 1 * barva (modra) (1 ^ 0) * barva (rdeča) ((2x) ^ 6)) + (barva (vijolična) 6 * barva (modra) (1 ^ 1) * barva (rdeča) ((2x) ^ 5)) + (barva (vijolična) 15 * barva (modra) (1 ^ 2) * barva (rdeča) ((2x) ^ 4)) + (barva (vijolična) 20 * barva (modra) (1 ^ 3) * barva (rdeča) ((2x) ^ 3)) + (barva (vijolična) 15 * barva (modra) (1 ^ 4) * barva (rdeča) ((2x) ^ 2)) + (barva (vijolična) 6 * barva (modra) (1 ^ 5) * barva (rdeča) ((2x) ^ 1)) + (barva (vijolična) 1 * barva (modra) (1 ^ 6) * barva (rdeča) ((2x) ^ 0)) #

Potem ga lahko poenostavimo.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Zato je koeficient od # x ^ 4 # je #240#.

(ii)

Razširitev že poznamo # (1 + 2x) ^ 6 #. Zdaj lahko pomnožimo oba izraza skupaj.

#barva (rjava) (1-x (1/4)) * barva (oranžna) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Koeficient. T # x # v # 1-x (1/4) # je #1#. Torej vemo, da bo dvignila vrednosti eksponentov v drugem izrazu z #1#. Ker potrebujemo koeficient od # x ^ 4 #, samo se moramo pomnožiti # 160x ^ 3 # jo # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Sedaj ga moramo dodati # 240x ^ 4 #. To je del rešitve # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, zaradi množenja s #1#. Pomembno je, ker ima tudi eksponenta #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Koeficient je torej #200#.

Odgovor:

jaz. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Pojasnilo:

Binomska ekspanzija za # (a + bx) ^ c # lahko predstavimo kot:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Za prvi del potrebujemo le kdaj # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Za drugi del potrebujemo tudi # x ^ 3 # zaradi. t # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #