Kaj je lastni vektor? + Primer

Odgovor:

Če vektor # v # in linearna transformacija vektorskega prostora # A # so takšne, da #A (v) = k * v # (kjer je konstantna # k # je poklican lastne vrednosti), # v # se imenuje lastni vektor linearne transformacije # A #.

Pojasnilo:

Predstavljajte si linearno transformacijo # A # raztezanje vseh vektorjev s faktorjem #2# v tridimenzionalnem prostoru. Vsak vektor # v # preoblikovali v # 2v #. Zato so za to preoblikovanje vsi vektorji lastnih vektorjev z lastne vrednosti od #2#.

Razmislite o rotaciji tridimenzionalnega prostora okoli Z-osi za kot # 90 ^ o #. Očitno bodo vsi vektorji, razen tistih vzdolž osi Z, spremenili smer in zato ne morejo biti lastnih vektorjev. Toda ti vektorji vzdolž Z-osi (njihove koordinate so v obliki # 0,0, z #) bo ohranila svojo smer in dolžino, zato sta lastnih vektorjev z lastne vrednosti od #1#.

Nazadnje upoštevajte rotacijo za # 180 ^ o # v tridimenzionalnem prostoru okoli Z-osi. Kot prej, se vsi vektorji z dolgo Z-osjo ne bodo spremenili, tako da so lastnih vektorjev z lastne vrednosti od #1#.

Poleg tega so vsi vektorji v XY-ravnini (njihove koordinate v obliki # x, y, 0 #) spremeni smer v nasprotno smer, hkrati pa ohrani dolžino. Zato so tudi lastnih vektorjev z lastne vrednosti od #-1#.

Vsako linearno transformacijo vektorskega prostora lahko izrazimo kot množenje vektorja z matriko. Na primer, prvi primer raztezanja je opisan kot množenje z matriko # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Takšna matrika, pomnožena s katerim koli vektorjem # v = {x, y, z} # bo proizvedel # A * v = {2x, 2y, 2z} #

To je očitno enako # 2 * v #. Torej, imamo

# A * v = 2 * v #, kar dokazuje, da je kateri koli vektor # v # je lastni vektor z lastne vrednosti #2#.

Drugi primer (rotacija za. T # 90 ^ o # okoli Z-osi) lahko opišemo kot množenje z matriko # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Takšna matrika, pomnožena s katerim koli vektorjem # v = {x, y, z} # bo proizvedel # A * v = {- y, x, z} #, ki ima lahko isto smer kot originalni vektor # v = {x, y, z} # samo če # x = y = 0 #, če je originalni vektor usmerjen vzdolž osi Z.