Če je vsota koeficienta 1., 2., 3. termina širitve (x2 + 1 / x) dvignjena na moč m 46, potem ugotovimo koeficient izrazov, ki ne vsebuje x?

Odgovor:

Najdite m.

Pojasnilo:

Prvi trije koeficienti bodo vedno

# ("_ 0 ^ m) = 1 #, # ("_ 1 ^ m) = m #, in # ("_ 2 ^ m) = (m (m-1)) / 2 #.

Vsota teh poenostavlja

# m ^ 2/2 + m / 2 + 1 #. To nastavite na 46 in rešite za m.

# m ^ 2/2 + m / 2 + 1 = 46 #

# m ^ 2 + m + 2 = 92 #

# m ^ 2 + m - 90 = 0 #

# (m + 10) (m - 9) = 0 #

Edina pozitivna rešitev je #m = 9 #.

Zdaj, pri razširitvi z m = 9, mora izraz, ki nima x, vsebovati izraz # (x ^ 2) ^ 3 (1 / x) ^ 6 = x ^ 6 / x ^ 6 = 1 #

Ta izraz ima koeficient od #('_6^9) = 84#.

Rešitev je 84.

Guma brez sladkorja vsebuje 40% manj kalorij kot redni gumi. če del rednega dlesni vsebuje 40 kalorij, koliko kalorij vsebuje del gume brez sladkorja?

Brez sladkorja vsebuje 24 kalorij 40% 40 kalorij = 40/100 * 40 kalorij = 16 kalorij Torej brez sladkorja vsebuje 16 kalorij manj kot redni gumi: barva (bela) ("XXX") 40 kalorij - 16 kalorij = 24 kalorij.

Vsota neskončnega števila izrazov GP je 20 in vsota kvadratov je 100. Nato najdete skupno razmerje GP?

3/5. Upoštevamo neskončni GP a, ar, ar ^ 2, ..., ar ^ (n-1), .... Vemo, da je za tega GP vsota njenega neskončnega števila. izrazov je s_oo = a / (1-r). :. a / (1-r) = 20 ......................... (1). Neskončne serije, katerih izrazi so kvadrati izrazov prvega GP, so ^ 2 + a ^ 2r ^ 2 + a ^ 2r ^ 4 + ... + a ^ 2r ^ (2n-2) + .... Opažamo, da je to tudi Geom. Serija, katere prvi izraz je ^ 2 in skupno razmerje r ^ 2. Zato je vsota njenega neskončnega št. izrazov je podan z, S_oo = a ^ 2 / (1-r ^ 2). :. a ^ 2 / (1-r ^ 2) = 100 ......................... (2). (1) -: (2) rArr (1 + r) / a = 1/5 ............................. ( 3).

Četrta moč skupne razlike aritmetične progresije je s celoštevilskimi vnosi dodana izdelku vseh štirih zaporednih izrazov. Dokaži, da je dobljena vsota kvadrat celega števila?

Naj bo skupna razlika AP celih števil 2d. Vse štiri zaporedne izraze napredovanja so lahko predstavljeni kot a-3d, a-d, a + d in a + 3d, kjer je a celo število. Tako bo vsota produktov teh štirih izrazov in četrte moči skupne razlike (2d) ^ 4 = barva (modra) ((a-3d) (ad) (a + d) (a + 3d)) + barva (rdeča) ((2d) ^ 4) = barva (modra) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + barva (rdeča) (16d ^ 4) = barva (modra) ) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + barva (rdeča) (16d ^ 4) = barva (zelena) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) = barva (zelena) ((^ 2-5d ^ 2) ^ 2, ki je popoln kvadrat.