Kako izbrati dve številki, za katere je vsota kvadratnih korenov minimalna, vedoč, da je produkt dveh številk a?

Odgovor:

# x = y = sqrt (a) #

Pojasnilo:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "je minimalno" #

# "Lahko bi delali z Lagrangovim množiteljem L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Izpeljava donosov:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(po pomnoževanju z x"! = "0") #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Zdaj moramo še vedno preveriti x = 0." #

# "Takrat je to nemogoče kot x * y = 0." #

# "Torej imamo edinstveno rešitev" #

# x = y = sqrt (a) #

Odgovor:

Poskušal vas bom popeljati skozi metodo rešitve spodaj.

Pojasnilo:

Kaj iščemo?

Dve številki. Dajmo jim imena, # x # in # y #.

Ponovno preberite vprašanje.

Želimo, da je vsota kvadratnih korenov minimalna.

To nam pove dve stvari

(1) obe številki sta negativni (da bi se izognili domišljiji)

(2) Zanima nas vrednost # sqrtx + sqrty #

Ponovno preberite vprašanje.

Prav tako so nam povedali, da je proizvod # x # in # y # je # a #.

Kdo se odloči # a #?

Na splošno, če vadba nekaj govori # a # ali # b # ali # c #, jih vzamemo kot konstante, ki jih je dal nekdo drug.

Torej bi nam lahko rekli "produkt" # x # in # y # je #11#'

ali "proizvod" # x # in # y # je #124#'.

Vse to moramo rešiti takoj # xy = a # za neko konstanto # a #.

Torej, želimo narediti # sqrtx + sqrty # čim manjše # xy = a # za neko konstanto # a #.

To izgleda kot optimizacijski problem in je eden. Zato želim, da funkcija ene spremenljivke minimizira.

# sqrtx + sqrty # ima dve spremenljivki, # x # in # y #

# xy = a # ima tudi dve spremenljivki, # x # in # y # (spomnite se # a # je konstanta)

Torej #y = a / x #

Zdaj želimo zmanjšati:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Poiščite derivat, nato kritično število in preskusite kritično število. Dokončaj najti # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritično # sqrta #

#f '(x) <0 # za #x <sqrta # in #f '(x)> 0 # za #x> sqrta #, Torej #f (sqrta) # je minimalna.

#x = sqrta # in #y = a / x = sqrta #

Odgovor:

# 2 root (4) (a) #

Pojasnilo:

Za to vemo #x_i> 0 # imamo

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

potem

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # potem

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

ampak # x_1x_2 = a # potem

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 koren (4) (a) #