Odgovor:
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #
Pojasnilo:
Nadaljevati…
Let # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #
# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #
# => sqrt (3) / 2 du = dx #
# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #
# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #
# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #
Z uporabo antideivativnega, kar bi se morali zavezati spominu …
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #
# => u = (2x-1) / sqrt3 #
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #
To je zapleten majhen integral in rešitev se na prvi pogled ne bo zdela očitna. Ker je to delček, bomo morda poskušali razmisliti o uporabi tehnike delnih frakcij, vendar hitra analiza pokaže, da to ni mogoče, ker # x ^ 2-x + 1 # ni faktorsko.
Trudili se bomo, da bomo to integracijo dobili v obliko, ki jo lahko dejansko integriramo. Opazujte podobnost med # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # in # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; vemo, da slednji integralni sistem vrednoti # arctanx + C #. Zato bomo poskušali priti # x ^ 2-x + 1 # v obliki #k (x-a) ^ 2 + 1 #in nato uporabite # arctanx # pravilo.
Kvadrat bomo morali zaključiti # x ^ 2-x + 1 #:
# x ^ 2-x + 1 #
# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #
# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #
# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #
# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #
# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #
(zelo grdo, vem)
Zdaj, ko ga imamo v želeni obliki, lahko nadaljujemo na naslednji način:
# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #
# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #
# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #
# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #
# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #
