Kako izračunati vsoto tega? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n (n-1) x ^ n

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Glede na to #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

ampak # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # in

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # potem

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Odgovor:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # kdaj # | x | <1 #

Pojasnilo:

Začnemo s pisanjem nekaterih koeficientov:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Prva stvar, ki jo želimo pogledati, so koeficienti (stopnja. T # x # lahko enostavno prilagodimo z množenjem in deljenjem serije z # x #, zato niso tako pomembni). Vidimo, da so vsi večkratniki dveh, tako da lahko ugotovimo faktor dva:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Koeficiente znotraj te oklepaje lahko prepoznamo kot binomske serije z močjo # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alpha = 1 + alphax + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1) (alfa-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Opazimo, da so eksponenti vseh izrazov v oklepajih večji za dve v primerjavi s serijo, ki smo jo pravkar izpeljali, zato moramo pomnožiti. # x ^ 2 # da bi dobili pravo serijo:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

To pomeni, da je naša serija (ko se konvergira) enaka:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Samo da bi preverili, da nismo naredili napake, lahko hitro uporabimo Binomial Series za izračun serije # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3 x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3 x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Ta vzorec lahko opišemo tako:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Ker je prvi mandat pravičen #0#, lahko pišemo:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

kar je serija, s katero smo začeli, preverjanje našega rezultata.

Zdaj moramo le ugotoviti interval konvergence, da vidimo, kdaj ima serija dejansko vrednost. To lahko storimo tako, da pogledamo konvergenčne pogoje za binomske serije in ugotovimo, da se serija konvergira # | x | <1 #