Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

Odgovor:

Lokalni minimum je #0# na #1#. (Ki je tudi globalna.) In lokalni maksimum # 4 / e ^ 2 # na # e ^ 2 #.

Pojasnilo:

Za #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, upoštevajte, da je domena # f # je pozitivno realno število, # (0, oo) #.

Potem najdi

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# f '# je neopredeljeno na # x = 0 # ki ni v domeni # f #, zato ni kritično število za # f #.

#f '(x) = 0 # kje

# lnx = 0 # # # ali # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # ali # # # x = e ^ 2 #

Preskusite intervale #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #, in # (e ^ 2, oo) #.

(Za testne številke, predlagam # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # - odpoklic # 1 = e ^ 0 # in # e ^ x # narašča.)

To smo našli # f '# spreminja iz negativnega v pozitivno #1#, Torej #f (1) = 0 # je lokalni minimum,

in to # f '# se spreminja iz pozitivnega v negativen # e ^ 2 #, Torej #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # je lokalni maksimum.

Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x ima lokalni minimum za x = 1 in lokalni maksimum za x = 3 Imamo: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x Funkcija je definirana v vsem RR kot x ^ 2 + 3> 0 AA x Kritične točke lahko identificiramo tako, da ugotovimo, kje je prvi derivat enak nič: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, tako da so kritične točke: x_1 = 1 in x_2 = 3 Ker je imenovalec vedno pozitiven, je znak f '(x) nasprotje znaka Števec (x ^ 2-4x + 3) Zdaj vemo, da je polinom drugega reda s pozitivnim vodilnim koeficientom pozit

Kakšni so lokalni ekstremi, sedežno mesto f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x -3y + 4?

Oglejte si spodnjo razlago Funkcija je f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 Delni derivati so (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 Pustiti (delf) / (delx) = 0 in (delf) / (dely) = 0 Potem, {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 Hessijeva matrika je Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) determinanta je D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 Zato ni sedlo. D (1,1)>

Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = (lnx-1) ^ 2 / x?

(e ^ 3, 4e ^ -3) Največja točka (e, 0) Minimalna točka