Kakšni so lokalni ekstremi f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Odgovor:

Edini ekstrem je # x = 0.90322 … #, minimum funkcije

Ampak moraš rešiti kubično enačbo, da prideš tja in odgovor sploh ni "lep" - ali si prepričan, da je vprašanje pravilno vneseno? Vključil sem tudi predloge, kako pristopiti k odgovoru, ne da bi se spustil v količino analize, ki je prikazana spodaj.

Pojasnilo:

1. Standardni pristop nas opozarja na težavno smer

Najprej izračunajte izpeljanko:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

tako (po pravilih verige in količnika)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Nato nastavite to vrednost na 0 in rešite za # x #:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Imamo kubično enačbo, ki jo rešijo radikali, vendar je to daleč od enostavnega procesa. Vemo, da bo ta enačba na splošno imela tri korenine, vendar ne, da bodo vsi resnični, čeprav bo vsaj eden izmed njih - da bo vsaj eden vedel iz teoreme o vmesni vrednosti - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - ki nam pove, da ker funkcija gre na neskončnost na enem koncu in minus neskončnost na drugem, mora v vsakem trenutku sprejeti vse vrednosti vmes.

Preizkusimo nekaj preprostih vrednosti (1 je pogosto informativna in hitra vrednost), vidimo, da je koren nekje med 1/2 in 1, vendar ne najdemo nobenih očitnih rešitev, s katerimi bi poenostavili enačbo. Reševanje kubične enačbe je dolg in dolgočasen proces (kar bomo storili spodaj), zato je vredno poskusiti informirati svojo intuicijo pred tem. Nadalje ugotavljamo, da je med 0,9 in 0,91.

2. Rešite poenostavljen problem

Funkcija je sestavljena iz razlike dveh izrazov, # f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # in # f_2 (x) = (x-4) / x #. Za večino območja # x #, prva od teh bo zelo prevladovala, saj bo drugi izraz za vse vrednosti. t # x # stran od majhnih vrednosti. Vprašajmo se, kako se obnašata dva posamezna pojma.

Prvi mandat, # f_1 #

# f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# f_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Nastavite to enako nič: # x = 3/4 #. To je v območju nič funkcije, ki smo jo našli, vendar ji ni blizu.

#f (1) # je parabola v # x #, ki se dotakne # x # os na # x = 3/4 #. Njegov derivat je strma ravna črta gradienta 32, ki prečka os x na isti točki.

Drugi izraz, # f_2 #

# f_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# f_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Nastavite to na nič: ni rešitev v # x #. Torej # f_2 # nima samostojnih ekstremov. Vendar pa ima točko, v kateri piha do neskončnosti: # x = 0 #. Gre za pozitivno neskončnost, ko se približa 0 z negativne strani, in na negativno neskončnost, ko se približa 0 s pozitivne strani. Daleč od te točke se krivulja nagiba k vrednosti 1 na obeh straneh. # f_2 # je hiperbola osredotočena na # (x, y) = (0,1) #. Njegov derivat je krivulja v dveh delih, za negativno in pozitivno # x #. V obeh smereh gre na pozitivno neskončnost # x = 0 # in je vedno pozitiven.

Upoštevajte, da # f_1 ^ '(x) <0 # za vse #x <0 #. Ni križišč # f_1 ^ '# in # f_2 ^ '# negativno # x # osi. Nad pozitivnim # x # osi mora biti točno eno križišče - ena krivulja sega od manj kot 0 do neskončne kot # x # to počne isto, medtem ko drugo gre od neskončnosti do 0. Z uporabo teoreme o vmesni vrednosti (glej zgoraj) morajo prečkati točno enkrat.

Zdaj smo torej prepričani, da iščemo le eno rešitev, vendar za to nimamo dobrega odgovora.

3. Numerično približajte odgovor

V poklicnih situacijah, ki zahtevajo rešitev takšnih težav, je pogosto najhitrejši način, da pridete do tistega, kar potrebujete, da izvedete numerično približevanje. Precej dober za iskanje korenin funkcije je metoda Newton-Raphson (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Ki je: najti koren funkcije # f #, najprej ugibajte # x_0 # v korenu in nato ponovite okroglo in okroglo po tej formuli:

# x_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# x_1 # je boljše ugibanje kot # x_0 #in eno samo ponavlja, dokler ne dosežete želene natančnosti.

Prikličite našo funkcijo in njen izpeljan:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Torej bi lahko ugibali 0,5 kot naš koren # x_0 = 0,5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. Tako # f_1 = 0.5 + 8/24 = 0.5 + 1/3 = 0.8333 …. #, resnično natančnejši odgovor. Ponavljanje nas pripelje do vrednosti, ki je zgoraj omenjena približno 0,9.

Zato lahko odgovor najdemo s poljubno natančnostjo, vendar popoln odgovor zahteva analitično rešitev, nekaj, kar smo omenili zgoraj, bi bilo težko. Torej, gremo …

4. Rešite celoten problem, počasi in boleče

Zdaj pa naredimo celotno kubično raztopino (morali boste ljubiti algebro, da bi to pravilno rešili):

Prvič, razdelite se tako, da bo vodilni izraz imel koeficient 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

Drugič, spremenljivko zamenjajte z naslednjo # y #, da odstranite # x ^ 2 # izraz:

Namestnik # x = y + 1/4 #. Splošneje, za enačbo oblike # ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, eden bi nadomestil # x = y-b / (3a) #. Če delate preko algebre, boste videli, da to vedno povzroča # x ^ 2 # izginila. V tem primeru dobimo:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Razširite oklepaja, spomnite se binomskega izreka:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Opazite, da sta dva # y ^ 2 # pogoji natančno izključeni)

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Zdaj imamo enako število izrazov, kot smo to storili prej, ker prej nismo imeli # y # obdobje. Izgubili # y ^ 2 # izraz je matematični dobiček, obljubim!

Tretjič, naredite drugo zamenjavo (zamenjava Viete: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html), da to spremenite v kvadratno:

Namestnik # y = w + 1 / (16w) #. Splošneje, za enačbo oblike # y ^ 3 + py = q #, ta zamenjava je # y = w-p / (3w) #.

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (w + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# w ^ 3 + 3 / 16w + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(Opazite, da oboje # w # in # 1 / w # pogoji natančno izničijo)

# w ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Sedaj se lahko vprašate, kaj je to, kaj je to, - to smo naredili z našo enačbo stopnje 3, dokler ne dobimo enačbe stopnje 6, zagotovo izgubo … Toda zdaj jo lahko mislimo kot kvadratno enačbo. v # w ^ 3 #, in rešujemo kvadratne enačbe …)

Četrtič, rešite kvadratno enačbo za # w ^ 3 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (w ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Uporaba kvadratne enačbe:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Imamo odgovor! Sedaj ga moramo povezati z našo izvirno spremenljivko # x #.

Petič, pretvorite nazaj v naše prvotne pogoje

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Vzemite koren kocke:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Spomnimo se, kako smo se povezali # y # do # w # prej: # y = w + 1 / (16w) #

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Zdaj # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + 2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Zdi se, da Sokrat ne ponuja minus-plus nasproti plus-minus, zato ga moramo napisati na ta način)

Tako

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Če v drugem velikem pomenu pomnožimo znake minus, lahko vidimo, da dobimo dva enaka izraza, tako da lahko spustimo kvadratne znake plus / minus in poenostavimo

# y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Končno (!) Se spomnimo, da smo ga nastavili # x = y + 1/4 #.

Tako

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Šestič, sklepajte, koliko teh korenin je resničnih

Oba izraza v kockastih koreninah imata po en pravi koren in dva konjugirana imaginarna korena. Prava številka # a # ima tri kocke korenine # a ^ (1/3) #, # a ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# a ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Zdaj vemo, da sta oba izraza znotraj korenin kocke pozitivna (opomba # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), in tako namišljene komponente v drugi in tretji vrednosti za # x # ne more biti enaka nič.

Zaključek

Zato obstaja samo en pravi koren # x # (kot smo sklenili daleč zgoraj s preprostejšo analizo) in s tem samo eno lokalno ekstremo na krivulji, ki jo postavljate, podano z izrazom

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

ali, v decimalnem

# x = 0.90322 … #

Iz tega lahko sklepamo, da je to najmanjša funkcija s tem, da obstaja samo en ekstrem in funkcija na obeh koncih nagiba k pozitivni neskončnosti.