Razlikovati od prvega načela x ^ 2sin (x)?

Odgovor:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # iz opredelitve izvedenega finančnega instrumenta in ob upoštevanju nekaterih omejitev.

Pojasnilo:

Let #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Potem pa

# (df) / dx = lim_ {h 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h: 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h: 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h: 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h: 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

trigonometrično identiteto in nekatere poenostavitve. Na teh štirih zadnjih vrsticah imamo štirje pogoji.

Prvi mandat je enako 0, ker

#lim_ {h: 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h: 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, kar lahko vidimo npr. iz Taylorjeve razširitve ali L'Hospitalovega pravila.

The Četrti mandat tudi izgine, ker

#lim_ {h: 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h: 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Zdaj drugi mandat poenostavlja

# lim_ {h: 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h: 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, od

#lim_ {h: 0} (sin (h)) / h = 1 #kot je prikazano tukaj, ali npr. Pravilo L'Hospital (glej spodaj).

The tretji mandat poenostavlja

# lim_ {h: 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

ki po dodajanje drugega mandata daje to

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Opomba: Po L'Hospital pravilu, od # l_ {h = 0} sin (h) = 0 # in # l_ {h = 0} h = 0 # in obe funkciji sta različni # h = 0 #, imamo to

# lim_ {h 0} sin (h) / h = lim_ {h 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h 0} cos (h) = 1 #.

Omejitev # lim_ {h: 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # podobno.