Kakšne so možne racionalne korenine x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Odgovor:

Ta kvintik nima racionalnih korenin.

Pojasnilo:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Z racionalnim korenskim teoremom, z vsemi ničlami #f (x) # v obliki # p / q # za cela števila #p, q # z # p # delitelj stalnega izraza #-12# in # q # delitelj koeficienta #1# vodilnega obdobja.

To pomeni, da je edina možna racionalno ničle so:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Upoštevajte, da #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # ima vse negativne koeficiente. Zato #f (x) # nima negativnih ničel.

Torej edina možna racionalno ničle so:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Ocenjevanje #f (x) # za vsako od teh vrednosti ugotovimo, da nobena ni nič. Torej #f (x) # nima racionalno ničle.

Skupaj z večino kvintikov in polinomov višje stopnje, ničle niso izrazljive v smislu # n #korenine ali osnovne funkcije, vključno s trigonometričnimi funkcijami.

Za izračun približkov lahko uporabite numerične metode, kot je Durand-Kerner:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #