Prosim, kdo vam pomaga rešiti problem?

Odgovor:

Poskusite spremembo # x = tan u #

Glej spodaj

Pojasnilo:

To vemo # 1 + tan ^ 2 u = sek ^ 2u #

S predlagano spremembo imamo

# dx = sec ^ 2u du #. Omogoča zamenjavo v integralu

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Tako razveljavitev spremembe:

# u = arctanx # in končno imamo

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Odgovor:

#barva (modra) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Pojasnilo:

Poskusimo uporabiti Trigonometrično zamenjavo za reševanje tega integrala. V ta namen bomo zgradili trikotnik s pravim kotom #Delta ABC # in označi strani tako, da lahko z uporabo Pitagorjeve formule dobimo izraze, ki jih trenutno vidimo v argumentu integralov, kot sledi:

Kot # / _ B = theta # ima nasprotno stran # x # in sosednje strani #1#. Uporaba Pythagorasove formule:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # Rezultati v:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # kot je prikazano.

Zdaj pa napišite tri najbolj osnovne trigonometrične funkcije za # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Zdaj moramo uporabiti te enačbe za reševanje različnih kosov integralnega argumenta v trigonometričnih izrazih. Uporabimo # tantheta #:

# tantheta = x #

Vzemimo derivate obeh strani:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Iz # costheta # lahko rešimo #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Če dvignemo obe strani te enačbe na moč #3# dobimo:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Sedaj lahko nadomestimo, kar smo izračunali, v integralni problem, da ga pretvorimo v trigonometrični integral:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (rdeča) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (rdeča) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Sedaj lahko nadomestimo nazaj # sintheta # in naš odgovor vrnemo v algebrski izraz v smislu # x #:

#barva (modra) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #