Kaj je koren kocke (sqrt3 -i)?

Začel bi s pretvorbo števila v trigonometrično obliko:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Kubični koren te številke lahko zapišemo kot:

# z ^ (1/3) #

Zdaj s tem v mislih uporabljam formulo za n-to moč kompleksnega števila v trigonometrični obliki:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # dajanje:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

V pravokotni obliki je: # 4.2-0.7i #

Ne morem se popolnoma strinjati z Giójevim odgovorom, ker je nepopoln in tudi (formalno) napačen.

Formalna napaka je v uporabi De Moivrejeva formula z eksponenti, ki niso celo število. De Moivrejevo formulo lahko uporabimo samo za eksponente celih števil. Več o tem na strani Wikipedije

Tam boste našli delno razširitev formule, s katero se boste ukvarjali # n #-tih korenin (vključuje ekstra-parameter # k #): če # z = r (cos theta + i sin theta) #, potem

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # kje # k = 0, …, n-1 #.

Ena (in v nekem smislu) je zelo temeljna lastnost kompleksnih števil # n #- korenine imajo … # n # korenine (rešitve)! Parameter # k # (ki se razlikuje med #0# in # n-1 #, Torej # n # vrednote) jih lahko povzamemo v eni sami formuli.

Torej imajo kocne korenine tri rešitve in iskanje enega izmed njih ni dovolj:#1/3# rešitve “.

Spodaj bom napisal predlog za rešitev. Komentarji so dobrodošli!

Kot je Gió pravilno predlagal, je prvi korak izražanje # z = sqrt {3} -i # v trigonometrični obliki #r (cos theta + i sin theta) #. Pri ukvarjanju s koreninami je trigonometrična oblika (skoraj) vedno uporabno orodje (skupaj z eksponentno). Dobiš:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Torej # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Zdaj želite izračunati korenine. Po zgornji formuli dobimo:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

kje # k = 0, 1, 2 #. Torej obstajajo tri različne vrednosti # k # (#0#, #1# in #2#), ki rodijo tri različne kompleksne korenine # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # in # z_2 # so tri rešitve.

Geometrična razlaga formule za # n # korenine je zelo koristna za pripravo rešitev v kompleksni ravnini. Tudi risba zelo lepo kaže lastnosti formule.

Najprej lahko opazimo, da imajo vse rešitve enako razdaljo # r ^ {1 / n} # (v našem primeru #2^{1/3}#) od izvora. Torej vsi ležijo na obodu polmera # r ^ {1 / n} #. Zdaj moramo poudariti kje da jih postavimo na ta obseg. Argumente sinusov in kosinusov lahko prepišemo na naslednji način:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

"Prvi" koren ustreza # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Vse ostale korenine lahko dobimo z dodajanjem kota # (2pi) / n # rekurzivno na kot # theta / n # glede na prvi koren # z_0 #. Torej se premikamo # z_0 # na obodu z vrtenjem # (2pi) / n # radiani (# (360 °) / n #). Torej se točke nahajajo na vozliščih pravilnega # n #-gon. Glede na enega od njih lahko najdemo druge.

V našem primeru:

kjer je modri kot # theta / n = -pi / 18 # in magenta je # (2pi) / n = 2/3 pi #.