Vprašanje # 242a2

Odgovor:

Za energijo, ki je shranjena v kondenzatorju v času # t # imamo #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # kje #E (0) # je začetna energija, # C # zmogljivosti in # R # upor žice, ki povezuje obe strani kondenzatorja.

Pojasnilo:

Najprej pregledamo nekaj ključnih konceptov, preden odgovorimo na to vprašanje. Seveda moramo poznati energijo, ki je shranjena v kondenzatorju, oziroma energijo, shranjeno v električnem polju, ki ga ustvari naboj, shranjen v kondenzatorju. Za to imamo formulo # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # z # C # zmogljivost kondenzatorja in. t # Q # naboj, shranjen na eni od kondenzatorskih plošč. 1

Da bi vedeli, kako se energija zmanjšuje, moramo vedeti, kako se zmanjša naboj. Za to obstaja nekaj stvari, ki jih moramo upoštevati. Prva stvar je, da se polnjenje lahko zmanjša le, če lahko gre kamorkoli. Najpreprostejši scenarij je, da sta obe plošči povezani z žico, tako da se plošče lahko izmenjujejo, tako da postanejo nevtralne. Druga stvar je, da če bi predpostavili, da žica nima odpornosti, bi se polnjenje lahko začelo premikati, tako da bi energija padla na nič pri tej stopnji. Ker je to dolgočasna situacija in poleg tega ni resnična, predpostavljamo, da ima žica nekaj odpornosti # R #, ki ga lahko modeliramo s povezovanjem kondenzacijskih plošč preko upora z uporom # R # z uporabo žic brez upora.

Kar imamo zdaj, je tako imenovani RC-krog, ki je prikazan spodaj. Da bi ugotovili, kako se shranjeni naboj spreminja, moramo zapisati nekaj diferencialnih enačb. Ne vem, kako dobro je brati v matematiki, zato vas prosimo, da mi sporočite, če vam naslednji del ni jasen, in poskušal bom to podrobneje razložiti.

Najprej ugotavljamo, da ko hodimo po žici, doživimo dva skoka električnega potenciala (napetosti), in sicer na kondenzatorju in na uporu. Ti skoki so podani z # DeltaV_C = Q / C # in # DeltaV_R = IR # 1. Ugotavljamo, da na začetku ni toka, zato je potencialna razlika nad uporom 0, vendar bomo videli, da se bo tok začel premikati. Zdaj opažamo, da ko hodimo po vezju, začenši z ene točke, bomo spet končali v isti točki, ker smo v krogu. Na tej posamezni točki je potencial v obeh časih enak, saj je ista točka. (Ko rečem, da hodimo vzdolž vezja, tega ne mislim dobesedno, temveč pregledamo napetostne skoke na vezju v eni točki časa, tako da pri hoji po tokokrogu ni časa, zato argument velja, tudi če sprememba napetosti v času.)

To pomeni, da je skupni potencialni skok nič. Torej # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Zdaj razmišljamo o tem, kaj #JAZ#, tok je. Tok se giblje polnjenje, vzame pozitivni naboj iz ene kondenzatorske plošče in prinaša drugemu. (Pravzaprav je večinoma obratno, vendar za matematiko tega problema ni pomembno.) To pomeni, da je tok enak spremembi naboja na ploščah, z drugimi besedami # I = (dQ) / dt #. Zamenjava tega v enačbi zgoraj nam daje # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, kar pomeni # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. To je tako imenovana linearna diferencialna enačba prvega reda. To narekuje linearno spremembo naboja s takratno vrednostjo naboja, kar pomeni, da bi bila sprememba dajatev tudi dvakrat večja, če bi bila dajatev dvakrat večja. To enačbo lahko rešimo s pametno uporabo računa.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, predpostavljamo # Qne0 #, ki ga na začetku ni, in kot se bo izkazalo, nikoli ne bo. Z uporabo tega lahko rečemo # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Vedeti # Q # v nekem trenutku # t # (z drugimi besedami #Q (t) #, enačbo vključimo na naslednji način: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) # od # C # in # R # so konstante. # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # s spremembo spremenljivk. To pomeni #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, Torej #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Nazadnje moramo to nadomestiti nazaj v enačbi za energijo:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Tako energija pade eksponentno skozi čas. Dejansko vidimo, da če # R # morale biti na nič, #E (t) # bi takoj šel na 0.

1 Griffiths, David J. Uvod v elektrodinamiko. Četrta izdaja. Pearson Education Limited, 2014