Število vrednosti parametra alfa v [0, 2pi], za katere je kvadratna funkcija, (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) kvadrat linearne funkcije, je ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Če vemo, da mora biti izraz kvadrat linearne oblike, potem

# (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) = (ax + b) ^ 2 #

nato razvrstimo koeficiente

# (alfa ^ 2-sin (alfa)) x ^ 2 + (2ab-2cos alpha) x + b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0 #

tako je pogoj

# {(a ^ 2-sin (alfa) = 0), (ab-cos alpha = 0), (b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0):} #

To lahko rešimo tako, da dobimo najprej vrednosti za # a, b # in zamenjavo.

To vemo # a ^ 2 + b ^ 2 = sin alfa + 1 / (sin alpha + cos alpha) # in

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alfa # Zdaj reševanje

# z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Reševanje in zamenjava # a ^ 2 = sinalpha # dobimo

#a = b = pm 1 / root (4) (2), alpha = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / root (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) root (4) (5)), alpha = pi-tan ^ -1 (2) #