Kaj je valovna funkcija in kakšne so zahteve, da se dobro obnaša, to pomeni, da pravilno predstavlja fizično realnost?

Odgovor:

Valovna funkcija je kompleksna vrednotena funkcija, katere amplituda (absolutna vrednost) daje porazdelitev verjetnosti. Vendar se ne obnaša na enak način kot navaden val.

Pojasnilo:

V kvantni mehaniki govorimo o stanju sistema. Eden od najpreprostejših primerov je delček, ki je lahko v vrsti navzgor ali navzdol, na primer elektron. Ko merimo vrtenje sistema, ga merimo bodisi gor ali dol. Stanje, s katerim smo prepričani o izidu meritve, imenujemo lastno stanje (eno gornje stanje # uarr # in eno stanje navzdol # darr #).

Obstajajo tudi države, kjer smo negotovi glede rezultatov meritev, preden jih izmerimo. Ta stanja imenujemo superpozicija in jih lahko zapišemo kot # a * uarr + b * darr #. Tukaj imamo # | a | ^ 2 # verjetnost merjenja # uarr #, in # | b | ^ 2 # verjetnost merjenja # darr #. To seveda pomeni # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Dovoljujemo # a, b # da so kompleksna števila, razlog za to ni takoj razviden iz tega primera, vendar bo v kontekstu valovne funkcije bolj jasen. Najpomembnejše je, da obstaja več držav, kot je ena, ki daje enake možnosti za merjenje vrtljajev.

Sedaj lahko poskusimo dodeliti funkcijo temu stanju. Ker obstajajo samo dva izida merjenja spina, imamo funkcijo, ki ima samo dva možna vhoda. Če pokličemo funkcijo # psi # (To je zelo običajen simbol, ki se uporablja za merjenje valov), nastavimo #psi (uarr) = a # in #psi (darr) = b #.

Zdaj se obrnemo na valovno funkcijo. Eden od vidikov delca je seveda njegova lokacija. Tako kot pri spin, lahko merimo različne vrednosti za lokacijo, in lahko imamo stanja, v katerih rezultat meritve ni določen vnaprej. Ker imamo neskončno neskončno količino lokacij, kjer je lahko delček, zapišemo to stanje kot # a * "here" + b * "tam" # ne bo. Vendar pa ideja o funkciji, ki smo jo uporabili zgoraj, ne. Torej za vsako lokacijo # x #, imamo kompleksno vrednost #psi (x) #. Funkcija gostote verjetnosti delca je zdaj podana z # | psi (x) | ^ 2 #.

Vsekakor je zgodovinsko ideja o valovni funkciji starejša od tiste, ki jo ima spin, toda mislim, da razumevanje ideje vrtenja do določene mere pomaga pri razumevanju valovne funkcije.

Najprej, zakaj se vrednoti kompleks valovnih funkcij? Prvi razlog je v zamisli o motenju. Valovna funkcija delca lahko moti sama sebe. Ta interferenca je povezana z dodajanjem valovnih funkcij, če valovne funkcije dajejo enako absolutno vrednost na določeni točki, potem je verjetnost merjenja delca okoli te točke podobna. Vendar pa so lahko vrednosti funkcij različne, če so enake, jih dodajate z amplitudo ali gostoto verjetnosti 4 (#|2|^2#) krat večji (konstruktivna interferenca), in če se razlikujejo z znakom, se med seboj negirajo (destruktivna interferenca). Lahko pa se razlikujejo tudi na primer dejavnik #jaz#, kar pomeni, da postane gostota verjetnosti #2# na tej točki. Vemo, da lahko pride do vseh teh motenj. Torej to kaže na kompleksno vrednoteno valovno funkcijo, kot je opisano prej.

Drugi razlog je v Schrödingerjevi enačbi. Sprva je veljalo, da se te valovne funkcije obnašajo kot klasični valovi. Vendar, ko je Schrödinger poskušal opisati obnašanje teh valov ali vsaj njihovo evolucijo skozi čas, je ugotovil, da enačba, ki ureja klasične valove, ni bila ustrezna. Da bi lahko deloval, je moral v enačbo uvesti kompleksno število, kar je privedlo do zaključka, da mora biti tudi sama funkcija zapletena, vrstni red derivatov v enačbi pa se razlikuje od klasične valovne enačbe.

Ta razlika v enačbah je tudi odgovor na vaše drugo vprašanje. Ker se evolucija valovne funkcije toliko razlikuje od klasičnih valov, ne moremo uporabiti enakih metod, ki jih uporabljamo pri klasični valovni fiziki. Obstajajo seveda geometrijski argumenti, ki jih lahko uporabite, vendar ne bo dovolj za opis vseh pojavov v kvantni fiziki. Poleg tega, čeprav valovna funkcija daje veliko informacij o stanju delca, ne pove ničesar o njegovem vrtenju, saj imajo opazovalni spin in lokacija malo skupnega z drugim.

Mogoče napačno interpretiram, kaj misliš z geometrijsko naravo. Morda bi lahko dali primer tega, kaj mislite. Mogoče bi vam potem lahko pomagal.

The valovna funkcija predstavlja stanje kvantnega mehanskega sistema, kot je atom ali molekula.

Lahko jo predstavimo kot bodisi # psi #, časovno neodvisen funkcijo valovanja, ali # Psi #, odvisna od časa valovna funkcija.

Zaradi val funkcija očitno predstavlja sistem, ki se obnaša kot a val (ni naključje, da se imenuje val funkcijo!), običajno pričakujemo neomejeno valovna funkcija brez meja. Upoštevajte dejstvo, da # sinx # in # cosx #, dve funkciji, ki sta jasno valovi, imata domene # (- oo, oo) #.

PRIMER: FUNKCIJA ZA VALJANJE

Vzemimo na primer orbitale. Obstajati mora niz mejni pogoji za orbital, ker očitno orbitale niso neskončno velike.

Funkcija valovanja lahko prikaže linearna kombinacija atomskih orbital tvoriti molekularne orbitale:

#barva (modra) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = barva (modra) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +.

kje # c_i # ali je koeficient razširitve z navedbo prispevka vsake atomske orbite k zadevni molekularni orbitalu in. t # phi_i ^ "AO" # ali je eksperimentalna / poskusna valovna funkcija za vsako atomsko orbitalo.

Ker mora biti valovna funkcija sposobna predstavljati orbito, mora imeti pozitivni polmer (#r> 0 #) in valovna funkcija mora biti samski ovrednotena, zaprto , neprekinjeno , pravokotno vse povezane valovne funkcije, in. t normalizirati .

Z drugimi besedami, mora opraviti preskus navpične črte, imeti mora končno območje pod krivuljo, nima skokov / prekinitev / asimptot / prekinitev in izpolnjuje naslednje dve enačbi:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(integral valovne funkcije in njenega kompleksnega konjugata je #0# če so valovne funkcije različne)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(integral valovne funkcije in njen kompleksni konjugat se normalizira tako, da je enak #1# če so valovne funkcije enake poleg znaka # pmi #)

En primer enačbe za valovno funkcijo v sferičnih koordinatah za atom vodika je:

#barva (modra) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = barva (modra) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Če pomislim, sem dejansko porabil čas za normalizacijo tega. Tudi jaz sem si vzel čas, da sem preveril ortogonalnost z ostalima dvema # 2p # valovne funkcije.: P

Za vsak primer, tukaj je dodatek k temu, kar sem povezal zgoraj v Scratchpads.

#' '#

Normalizacija

The # 2p_z # atomska orbitalna valovna funkcija je:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Ali je # 2p_z # valovna funkcija resnično normalizirali? PA UGOTOVIMO!

mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#barva (zelena) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (preobremenjenost (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Zdaj, ko preučimo le radialni del, ki je nor del … naj se začne štirikratna integracija delov!

VREDNOTENJE RADIALNE KOMPONENTE FUNKCIJE VALOV

1. del

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Naj:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

2. del

Naj:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

3. del

Naj:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

4. del

Naj:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))) dr}} #

RAZŠIRITEV / POENOSTAVITEV

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0)) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

OBRAZEC - PRIPRAVLJEN

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Prva polovica se izklopi biti #0#:

# = prekliči ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Druga polovica poenostavi biti # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = prekliči (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) prekliči ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + prekliči (4 ((a_0)) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + prekliči (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + prekliči (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Zdaj pa ponovno preglejmo valovno funkcijo kot celoto …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (prekliči (32) prekliči (pi)) prekliči ((Z / a_0) ^ 5) (prekliči (16) prekliči ((a_0 / Z) ^ 5)) (prekliči (2) prekliči (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#barva (modra) (1 = 1) #

DA! ENA ENA ENA! Mislim…

Funkcija valovanja je res normalizirana!: D

Dokazovanje medsebojne ortogonalnosti za 2p valovne funkcije

Izberimo naslednje valovne funkcije:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Če želimo pokazati, da so ortogonalni, moramo prikazati vsaj enega od njih:

#int _ ("ves prostor") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

In iz indukcije lahko impliciramo ostalo, ker so radialne komponente enake. Z drugimi besedami:

mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#barva (zelena) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Izkazalo se je, da je radialni del # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Zato ocenimo kotne dele.

The # theta # del:

#barva (zelena) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Naj:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = barva (zelena) (0) #

In zdaj # phi # del:

#barva (zelena) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Naj:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = barva (zelena) (0) #

Zato imamo na splošno:

#color (modra) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = prekliči (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = barva (modra) (0) #

Od

#int _ ("ves prostor") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # in # 2p_x # atomske orbitale so ortogonalne.

Res, glavna razlika z uporabo # 2p_y # enačba je, da namesto tega dobite:

#color (zelena) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "Ista stvar" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

In tako:

#color (modra) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = barva (modra) (0) #

Od množenja #0# z drugimi integrali, zato celoten integral izgine in:

#int _ ("ves prostor") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

torej # 2p_x # in # 2p_y # atomske orbitale so ortogonalne.

Končno, za # 2p_y # vs # 2p_z #:

#color (zelena) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "Ista stvar" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Vemo # theta # sestavni del pred:

#barva (modra) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = barva (modra) (0) #

In tako celoten integral ponovno izgine, in dejansko # 2p_y # in # 2p_z # orbitale so prav tako pravokotne!