Vprašanje # 9be0d

Odgovor:

Ta enačba je približek relativistične energije delca za nizke hitrosti.

Pojasnilo:

Predvidevam nekaj znanja o posebni relativnosti, in sicer, da je energija gibljivega delca, opazovanega iz inercialnega okvira, podana z # E = gammamc ^ 2 #, kje # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # Lorentzov faktor. Tukaj # v # je hitrost delca, ki ga opazovalec opazuje v inercialnem okviru.

Pomembno orodje za približevanje fizikov je približevanje Taylorjevih serij. To pomeni, da lahko približamo funkcijo #f (x) # jo #f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, višje # N #, boljši je približek. Dejansko ta približek za velik razred gladkih funkcij postane natančen kot # N # gre # oo #. Upoštevajte, da #f ^ ((n)) # stoji za n - ti derivat # f #.

Približujemo funkcijo #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # za majhne # x #, opažamo, da če # x # je majhna, # x ^ 2 # bo še manjši, zato predpostavljamo, da lahko ignoriramo dejavnike tega naročila. Tako smo #f (x) pribl (0) + f '(0) x # (ta poseben približek je znan tudi kot Newtonov približek). #f (0) = 0 # in #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, Torej #f '(0) = 1/2 #. Zato #f (x) approx1 + 1 / 2x #.

Zdaj pa to opazimo # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. Res, če # v # je majhen glede na # c #, kar bo v vsakodnevnih situacijah, je približek tako # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Zamenjava tega v enačbo za celotno energijo delca daje # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. To nam daje kinetično energijo #E _ ("kin") = E-E_ "počitek" approxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # za nizke hitrosti, kar je skladno s klasičnimi teorijami. Za višje hitrosti je smiselno uporabiti več izrazov iz Taylorjeve serije, ki se konča s tako imenovanimi relativističnimi popravki na kinetični energiji.