Funkcija 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 je maksimum, minimum ali točka pregibanja?

Odgovor:

Ni min ali maks
Točka inflacije pri #x = -2 / 3 #.

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Pojasnilo:

Min in Maxes

Za dano # x #-vrednost (pokličimo jo # c #) za max ali min za dano funkcijo, mora izpolnjevati naslednje:

#f '(c) = 0 # ali nedefinirano.

Te vrednosti # c # imenujemo tudi vaš kritične točke.

Opomba: Vse kritične točke niso max / min, vendar so vse max / min kritične točke

Zato jih najdemo za vašo funkcijo:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

To ne vpliva, zato poskusimo kvadratno formulo:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… in tam lahko ustavimo. Kot lahko vidite, imamo na koncu negativno število pod kvadratnim korenom. Zato obstajajo nobenih resničnih kritičnih točk za to funkcijo.

Točke pregibanja

Zdaj pa poiščimo točke pregibanja. To so točke, kjer ima graf sprememb v konkavnosti (ali ukrivljenosti). Za točko (pokličite jo # c #) je točka prevojnosti, mora izpolnjevati naslednje:

#f '' (c) = 0 #.

Opomba: Vse te točke niso točke pregiba, vendar morajo vse to pregibne točke izpolnjevati.

Najdemo naslednje:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Zdaj moramo preveriti, ali je to dejansko točka pregibanja. Torej bomo morali to preveriti #f '' (x) # dejansko zamenja znak pri #x = -2 / 3 #.

Zato preskusimo vrednosti desno in levo od #x = -2 / 3 #:

Prav:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Levo:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Ne zanima nas toliko, kakšne so dejanske vrednosti, toda kot lahko jasno vidimo, je na desni strani pozitivno število #x = -2 / 3 #in negativno število na levi strani #x = -2 / 3 #. Zato je to dejansko točka pregibanja.

Povzeti, #f (x) # nima kritičnih točk (ali min ali maxes), vendar ima točko pregibanja pri #x = -2 / 3 #.

Poglejmo graf #f (x) # in si oglejte, kaj ti rezultati pomenijo:

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Ta graf se povsod povečuje, tako da nima nobenega mesta, kjer bi bil derivat = 0. Vendar pa gre od ukrivljenega navzdol (konkavno navzdol) do ukrivljenega navzgor (konkavno navzgor) pri #x = -2 / 3 #.

Upam, da je to pomagalo:)