Y = f (x).Graf, y = f (3x) -2 in y = -f (x-1)?

Odgovor:

Ne uporabljajte priročnega grafičnega papirja - zato upam, da opis pomaga!

Pojasnilo:

Za # y = f (3x) -2 # prvi stisnite dani graf vzdolž # x # osi za faktor 3 (tako, da se zgodi, da je leva roka minimalna, npr # x = -2 / 3 #), nato pa potisnite celoten graf dol za 2 enoti. Tako bo nov graf imel najmanj pri #x = -2 / 3 # z vrednostjo # y = -2 #, največ na #(0,0)# in še en minimum pri #(4/3, -4)#

Za # y = -f (x-1) # najprej premaknite graf 1 enoto na prav, nato ga obrni na glavo! Novi graf bo torej dvakrat maxima na #(-1,0)# in #(5,2)# in najmanj pri #(1,-2) #

Odgovor:

Tukaj je podrobnejša razlaga

Pojasnilo:

Težave so posebni primeri bolj splošnega problema:

Glede na graf za # y = f (x) #, kaj je graf od #y = a f (b x + c) + d # ?

(prva je za # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, drugi pa za # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Poskušal bom razložiti odgovor v korakih, tako da rešim težavo korak za korakom. To bo precej dolg odgovor - vendar upam, da bo splošno načelo do konca jasno.

Za ilustracijo bom uporabil posebno krivuljo, ki sem jo prikazal spodaj, toda ideja bo delovala na splošno.

(Če je kdo zainteresiran, je funkcija, ki jo načrtujemo tukaj #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Glede na graf za # y = f (x) #, kaj je graf od #y = f (x) + d # ?

To je enostavno - vse kar morate storiti je, da si zapomnite, če # (x, y) # potem je točka na prvem grafu # (x, y + d) # je točka na drugi. To pomeni, da je drugi graf višji od prvega z razdaljo # d # (seveda, če # d # je negativna, je nižja od prvega grafa # | d | #).

Torej, graf # y = f (x) + 1 # bo

Kot lahko vidite, graf za #y = f (x) + 1 # (trdna vijolična črta) dobimo tako, da preprosto pritisnemo graf za # y = f (x) # (siva črtkana črta) gor eno enoto.

Graf za # y = f (x) -1 najdete s pritiskom na izvirni graf dol z eno enoto:

2) Glede na graf za # y = f (x) #, kaj je graf od #y = f (x + c) # ?

To je enostavno videti, če # (x, y) # je točka na # y = f (x) # grafu # (x-c, y) # bo točka na #y = f (x + c) # graf. To pomeni, da lahko dobite graf #y = f (x + c) # iz grafa #y = f (x) # preprosto s premikanjem na levo jo # c # (seveda, če # c # je negativna, izvirni graf morate premakniti za # | c | # na desno.

Na primer, graf za # y = f (x + 1) # lahko najdete tako, da izvirni graf premaknete na levo z eno enoto:

medtem ko je za # y = f (x-1) # vključuje potiskanje izvirnega grafa v prav z eno enoto:

3) Glede na graf za # y = f (x) #, kaj je graf od #y = f (bx) # ?

Od #f (x) = f (b krat x / b) # iz tega sledi, da če # (x, y) # je točka na #y = f (x) # grafu # (x / b, y) # je točka na # y = f (bx) # graf.

To pomeni, da mora biti prvotni graf stisnjen s faktorjem # b # vzdolž # x # osi. Seveda, stiskanje # b # je res a raztezanje jo # 1 / b # za primer, kjer # 0 <b <1 #

Graf za # y = f (2x) # je

Upoštevajte, da medtem ko višina ostane enaka pri 1, se širina skrči za faktor 2. Še posebej je vrh prvotne krivulje premaknjen od # x = 1 # do # x = 1/2 #.

Po drugi strani pa graf za # y = f (x / 2) # je

Upoštevajte, da je ta graf dvakrat širši (stiskanje s #1/2# enako kot raztezanje s faktorjem 2), in vrh se je tudi premaknil # x = 1 # do # x = 2 #.

Posebej je treba omeniti primer, kjer # b # je negativna. Najbolje je, da o tem razmišljate kot o postopku v dveh korakih

• Najprej poiščite graf # y = f (-x) #, in potem
• stisnite dobljeni graf z # | b | #

Upoštevajte to za vsako točko # (x, y) # prvotnega grafa, točka # (- x, y) # je točka na grafu # y = f (-x) # - tako da lahko nov graf najdete tako, da odsevate starega # Y # osi.

Za ponazoritev postopka v dveh korakih upoštevajte graf # y = f (-2x) # prikazano spodaj:

Tukaj je izvirna krivulja, za # y = f (x) # se najprej obrne na # Y # os, da dobite krivuljo za # y = f (-x) # (tanka cianova črta). To se nato stisne s faktorjem #2# da dobimo krivuljo za # y = f (-2x) # - debela vijolična krivulja.

4) Glede na graf za # y = f (x) #, kaj je graf od #y = af (x) # ?

Vzorec je tukaj enak - če # (x, y) # potem je točka na izvirni krivulji # (x, ay) # je točka na grafu # y = af (x) #

To pomeni, da za pozitivno # a #graf se raztegne s faktorjem # a # vzdolž # Y # osi. Ponovno vrednost # a # med 0 in 1 pomeni, da se bo krivulja dejansko stisnila s faktorjem # 1 / a # vzdolž # Y # osi.

Krivulja spodaj je za # y = 2f (x) #

Upoštevajte, da je vrh, medtem ko je na isti vrednosti # x # - njegova višina se je podvojila na 2 od 1. Seveda ni samo vrh, ki je bil raztegnjen - # y # koordinata vsake točke prvotne krivulje se podvoji, da dobimo novo krivuljo.

Spodnja slika prikazuje stiskanje, ki se pojavi, ko #0<>

Še enkrat, primer za #a <0 # je posebna skrb - in bolje je, če to storite v dveh korakih

1. Najprej obrnite krivuljo na glavo # X # os, da dobite krivuljo za # y = -f (x) #
2. Raztegnite krivuljo za # | a | # vzdolž # Y # osi.

Krivulja za # y = -f (x) # je

spodnja slika pa ponazarja dva koraka pri risanju krivulje za #y = -2f (x) #

Vse skupaj

Zdaj, ko smo šli skozi posamezne korake, jih postavimo skupaj! Postopek za risanje krivulje za

# y = a f (bx + c) + d #

od tega # y = f (x) # sestavljajo naslednji koraki

1. Nariši krivuljo # y = f (x + c) #: premaknite graf za razdaljo # c # levo
2. Potem nariši to #y = f (bx + c) #: stisnite krivuljo, ki jo dobite v 1. koraku # X # smer s faktorjem # | b | #, (najprej jo obrnemo o # Y # os, če #b <0 #)
3. Nato narišite graf # y = af (bx + c) #: merilo krivulje, ki ste jo dobili od koraka 2, do faktorja # a # v navpični smeri.
4. Končno potisnite krivuljo, ki jo dobite v koraku 3, za razdaljo # d # da dobite končni rezultat.

Seveda morate opraviti vse štiri korake le v skrajnih primerih - pogosto bo manjše število korakov! Pomembno je tudi zaporedje korakov.

V primeru, da se sprašujete, ti koraki izhajajo iz dejstva, da če # (x, y) # je točka na # y = f (x) # graf, nato točka

# ({x-c} / b, ay + d) # je na # y = af (bx + c) + d # graf.

Dovolite mi, da ponazorim postopek s primerom z našo vlogo #f (x) #. Poskusimo zgraditi graf za #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Prvi - premik v levo za 3 enote

Potem: stisnite s faktorjem 2 vzdolž # X # osi

Potem, obrnemo graf o # X # osi in nato s faktorjem 2 # Y #

Končno, premik krivulje za 1 enoto - in končali smo!