Kakšna je enačba tangentne črte f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 pri x = 5?

Enačba tangentne črte ima obliko:

# y = barva (oranžna) (a) x + barva (vijolična) (b) #

kje # a # je nagib te ravne črte.

Da bi našli nagib te tangentne črte na #f (x) # na točki # x = 5 # moramo razlikovati #f (x) #

#f (x) # je kvocientna funkcija obrazca # (u (x)) / (v (x)) #

kje #u (x) = x-3 # in #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#barva (modra) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#barva (rdeča) (u '(x) = 1) #

#v (x) # je sestavljena funkcija, zato moramo uporabiti pravilo verige

let #g (x) = x ^ 2 # in #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#barva (rdeča) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # potem

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#barva (rdeča) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#barva (rdeča) (v '(x) = 2 (x-4) #

#barva (modra) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

poenostavitev skupnega dejavnika # x-4 # med števcem in imenovalcem

#barva (modra) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Ker tangenta prehaja skozi točko # x = 5 # tako da lahko najdemo vrednost naklona # a # z zamenjavo # x = 5 # v # f '(x) #

#barva (oranžna) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#barva (oranžna) (a = -3) #

Glede na absciso točke dotika #barva (rjava) (x = 5) # omogoča

Najdemo njegovo ordinato # y = f (5) #

#barva (rjava) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#barva (rjava) (y = 2) #

Koordinate točke dotika #barva (rjava) ((5; 2)) # in naklon #barva (oranžna) (a = -3) # omogoča iskanje #barva (vijolična) (b) #

omogoča, da nadomestimo vse znane vrednosti v enačbi tangentne črte, da najdemo vrednost #barva (vijolična) (b) #

#barva (rjava) (y) = barva (oranžna) (a) barva (rjava) (x) + barva (vijolična) (b) #

# 2 = -3 (5) + barva (vijolična) (b) #

# 2 = -15 + barva (vijolična (b) #

# 17 = barva (vijolična) (b) #

torej enačba tangentne črte na točki #barva (rjava) ((5; 2)) # je:

# y = -3x + 17 #