Kaj je enako -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3))?

Odgovor:

Problem je nerešljiv

Pojasnilo:

Nobenih lokov ni, da bi bil njihov kosinus enak 2 in 3.

Z analitičnega vidika # arccos # Funkcija je definirana samo na #-1,1# tako #arccos (2) # & #arccos (3) # ne obstajajo.

Odgovor:

Zares # cos # in # sin # to nima rešitev, ampak kot funkcije kompleksnih števil najdemo:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Pojasnilo:

Kot Real vrednotene funkcije realnih vrednosti # x #, funkcije #cos (x) # in #sin (x) # samo vrednosti v območju #-1, 1#, Torej #arccos (2) # in #arccos (3) # so nedefinirane.

Opredelitev teh funkcij pa je mogoče razširiti na kompleksne funkcije #cos (z) # in #sin (z) # kot sledi:

Začenši z:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

lahko sklepamo:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Zato lahko definiramo:

#cos (z) = (e) (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

za vsako kompleksno številko # z #.

Možno je najti več vrednosti # z # ki izpolnjujejo #cos (z) = 2 # ali #cos (z) = 3 #, tako da bi bilo mogoče sprejeti nekatere odločitve za opredelitev glavne vrednosti #arccos (2) # ali #arccos (3) #.

Da bi našli ustrezne kandidate, rešite # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, itd.

Vendar upoštevajte, da je identiteta # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # velja za katero koli kompleksno število # z #, tako da lahko sklepamo:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Upam, da je mogoče določiti glavno vrednost tako, da #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # raje kot # -sqrt (3) i #.

V vsakem primeru, #cos (arccos (3)) = 3 # po definiciji.

Če vse to združimo, najdemo:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #