Kako ugotovimo, da se volumen območja, ki ga zaokrožujejo krivulje y = x ^ 2 - 1 in y = 0, vrti okoli črte x = 5?

Odgovor:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Pojasnilo:

Da bi izračunali ta volumen, ga bomo na nek način razrezali na (neskončno tanke) rezine.

Zamislimo regijo, da bi nam pri tem pomagala, sem priložil graf, kjer je regija del pod krivuljo. To opazimo # y = x ^ 2-1 # prečka črto # x = 5 # kje # y = 24 # in da prečka črto # y = 0 # kje # x = 1 # graf {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Pri rezanju tega območja v vodoravne rezine z višino # dy # (zelo majhna višina). Dolžina teh rezin je zelo odvisna od koordinate y. za izračun te dolžine moramo poznati razdaljo od točke # (y, x) # na zvezi # y = x ^ 2-1 # do točke (5, y). Seveda je to # 5-x #, vendar želimo vedeti, od česa je odvisno # y #. Od # y = x ^ 2-1 #, vemo # x ^ 2 = y + 1 #, saj imamo #x> 0 # za regijo, v kateri smo zainteresirani, # x = sqrt (y + 1) #, zato je ta razdalja odvisna od # y #, kar bomo označili kot #r (y) # je podan z #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Zdaj vrtimo to regijo okoli # x = 5 #, to pomeni, da vsaka rezina postane valj z višino # dy # in polmer #r (y) #torej volumen #pir (y) ^ 2dy #. Zdaj moramo vse te neskončno majhne količine uporabiti za integracijo. To opazimo # y # gre od #0# do #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20) / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.