Kakšen je absolutni ekstrem funkcije: 2x / (x ^ 2 +1) v zaprtem intervalu [-2,2]?

Absolutni ekstremi funkcije v zaprtem intervalu # a, b # lahko so ali lokalni ekstremi v tem intervalu ali točke, katerih ascissae so #a ali b #.

Najdemo lokalne ekstreme:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#y '> = 0 #

če

# -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Torej naša funkcija upada #-2,-1)# in v #(1,2# in raste #(-1,1)#, in tako je bistvo #A (-1-1) # je lokalni minimum in točka #B (1,1) # je lokalni maksimum.

Zdaj pa poiščimo ordinato točk na ekstremih intervala:

#y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) #

#y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Torej kandidatov so:

#A (-1-1) #

#B (1,1) #

#C (-2, -4 / 5) #

#D (2,4 / 5) #

in enostavno je razumeti, da so absolutni ekstremi # A # in # B #, kot lahko vidite:

graf {2x / (x ^ 2 +1) -2, 2, -5, 5}