Kako najdete mejo (arctan (x)) / (5x), ko se x približa 0?

Odgovor:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Pojasnilo:

Če želite najti to mejo, upoštevajte, da sta števec in imenovalec #0# kot # x # pristopov #0#. To pomeni, da bomo dobili nedoločeno obliko, zato lahko uporabimo L'Hospitalovo pravilo.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Z uporabo L'Hospital pravil, vzamemo izpeljanko števca in imenovalca, ki nam daje

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

To lahko preverimo tudi z grafičnim prikazom funkcije, da dobimo idejo, kaj # x # pristopov.

Graf od #arctan x / (5x) #:

graf {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Odgovor:

V nadaljevanju je pojasnjen daljši pristop, ki uporablja trikotnike.

Pojasnilo:

V primeru, da se ne strinjate z L'Hopitalovim pravilom, ali pa še niste bili izpostavljeni, je drugi pristop k reševanju problema povezan z uporabo definicije arktangentne funkcije.

Spomnimo se, da če # tantheta = x #, potem # theta = arctanx #; to v bistvu pomeni, da je arctangent nasprotje tangente. S pomočjo teh informacij lahko izdelamo trikotnik, kjer # tantheta = x # in # theta = arctanx #:

Iz diagrama je jasno, da # tantheta = x / 1 = x #. Od # tantheta = sintheta / costheta #, to lahko izrazimo kot:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Uporaba tega in dejstvo, da # theta = arctanx #, lahko omejimo omejitev:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

To je enako:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

To vemo #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; tako #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # ali #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. In od takrat # cos0 = 1 #, meja je ocenjena na:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#