Razpolovna doba kobalta 60 je 5 let. Kako dobite eksponentni model razpada za kobalt 60 v obliki Q (t) = Q0e ^ kt?

Odgovor:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Pojasnilo:

Postavili smo diferencialno enačbo. Vemo, da je hitrost spremembe kobalta sorazmerna s količino kobalta. Prav tako vemo, da gre za model razpadanja, zato bo negativni znak:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

To je lepo, enostavno in ločljivo razliko:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# pomeni ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Dvignite vsako stran na eksponentno:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Zdaj, ko poznamo splošno obliko, moramo ugotoviti, kaj # k # je.

Naj pol življenje označimo z # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#torej 1/2 = e ^ (- ktau) #

Vzemite naravne hlode na obeh straneh:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Za urejenost, ponovno pisanje #ln (1/2) = -ln (2) #

#tako k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

#torej Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #