Kako ocenim cos (pi / 5) brez uporabe kalkulatorja?

Odgovor:

Cos (# pi # / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

Pojasnilo:

Če # theta # = # pi #/ 10, nato 5# theta # = # pi #/2 #=># cos3# theta # = sin2# theta #. cos (# pi # /2 - # alfa #) = greh# alfa #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3cos# theta # = 2sin# theta #cos# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 greh # theta #.

#=># 4 (1 - # sin ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 sin# theta #. #=># 4# sin ^ 2 # # theta #+ 2sin# theta # - 1 = 0#=>#

greh# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

Zdaj cos 2# theta # = cos # pi #/5 = 1 - 2# sin ^ 2 # # theta #, daje rezultat.

Odgovor:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Pojasnilo:

Let #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Tako #cos (4 * pi / 5) = -a #. Iz formul z dvojnim kotom:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

Odštevanje, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# a + b # ni nič, ker sta oba izraza pozitivna, torej # a-b # mora biti #1/2#. Potem pa

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

in edini pozitivni koren je

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

In #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.