Kakšen je obseg pravilnega osmerokotnika s polmerom dolžine 20?

Kakšen je obseg pravilnega osmerokotnika s polmerom dolžine 20?
Anonim

Odgovor:

Odvisno:

Če je notranji polmer #20#, potem je obseg:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132,55 #

Če je zunanji polmer #20#, potem je obseg:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

Pojasnilo:

Tu rdeči krog obdaja zunanji radij, zeleni krog pa notranji.

Let # r # je zunanji radij - to je polmer rdečega kroga.

Potem so točke osmerokotnika centrirane na #(0, 0)# so na:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Dolžina ene strani je razdalja med # (r, 0) # in # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Tako je skupni obseg:

#color (rdeča) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Torej, če je zunanji polmer #20#, potem je obseg:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122,46 #

#color (bela) () #

Notranji polmer bo # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Torej #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Potem je skupni obseg

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = barva (zelena) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Torej, če je notranji polmer #20#, potem je obseg:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132,55 #

#color (bela) () #

Kako dober približek za # pi # to nam daje?

Medtem ko smo tukaj, kakšen približek # pi # dobimo s povprečenjem notranjega in zunanjega polmera?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… torej ni veliko.

Da bi dobili čim boljši približek kot #355/113 ~~ 3.1415929#, kitajski matematik Zu Chongzhi uporabil a #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) stranski poligon in štetne palice.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi