Dve številki se razlikujeta glede na 3. Vsota njihovih vzajemnih stavkov je sedem desetin. Kako najdete številke?

Odgovor:

Obstajata dve rešitvi problema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Pojasnilo:

To je tipičen problem, ki ga lahko rešimo s sistemom dveh enačb z dvema neznanima spremenljivkama.

Naj bo prva neznana spremenljivka # x # in drugo # y #.

Razlika med njimi je #3#, kar ima za posledico enačbo:

(1) # x-y = 3 #

Njihove recipročnosti so # 1 / x # in # 1 / y #, katerih vsota je #7/10#, kar ima za posledico enačbo:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Mimogrede, obstoj vzajemnosti zahteva omejitve: t

#x! = 0 # in #y! = 0 #.

Za rešitev tega sistema uporabimo metodo zamenjave.

Iz prve enačbe lahko izrazimo # x # v smislu # y # in nadomestiti v drugo enačbo.

Iz enačbe (1) lahko izpeljemo:

(3) #x = y + 3 #

Nadomesti jo v enačbo (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Morda to zahteva drugo omejitev:

# y + 3! = 0 #, to je #y! = - 3 #.

Uporaba skupnega imenovalca # 10y (y + 3) # in upoštevajoč samo števce, enačbo (4) pretvorimo v:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

To je kvadratna enačba, ki jo lahko zapišemo kot:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # ali

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Dve rešitvi te enačbe sta:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

ali

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Torej imamo dve rešitvi za # y #:

# y_1 = 2 # in # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Ustrezno uporabo # x = y + 3 #, sklepamo, da obstajata dve rešitvi sistema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

V obeh primerih # x # je večja od # y # jo #3#, tako da je prvi pogoj problema zadovoljen.

Preverimo drugi pogoj:

(a) za rešitev # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - preverjeno

(b) za rešitev # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - preverjeno

Obe rešitvi sta pravilni.