Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?
Anonim

Odgovor:

Sedežna točka na izvoru.

Pojasnilo:

Imamo:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

In tako izpeljemo delne derivate. Ne pozabite, če delno ločimo, da bomo spremenljivko razlikovali, medtem ko druge spremenljivke obravnavamo kot konstantne. In tako:

# (delno f) / (delno x) = 2xy-y ^ 2 t in (delno f) / (delno y) = x ^ 2-2yx #

Na ekstremah ali sedečih točkah imamo:

# (delno f) / (delno x) = 0 t in (delno f) / (delno y) = 0 t hkrati:

istočasno rešitev:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Zato je pri izvoru le ena kritična točka #(0,0)#. Da bi ugotovili naravo kritične točke, so potrebni analitiki več spremenljivke Taylor Series in naslednji rezultati testov:

# Delta = (delno ^ 2 f) / (delno x ^ 2) (delno ^ 2 f) / (delno y ^ 2) - {(delno ^ 2 f) / (delno x delno y)} ^ 2 <0 => # sedežno točko

Torej izračunamo druge delne derivate:

# (delno ^ 2f) / (delno x ^ 2) = 2y t;# (delno ^ 2f) / (delno y ^ 2) = -2x t in (delno ^ 2 f) / (delno x delno y) = 2x-2y #

In kdaj # x = 0, y = 0 # dobimo:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

To pomeni, da je standardni preskus sedla vključujoč in da je potrebna nadaljnja analiza. (To bi običajno vključevalo gledanje znakov funkcije na različnih rezinah ali gledanje tretjega delnega izpita, ki je izven obsega tega vprašanja!).

Ogledamo si lahko tudi 3D ploskev in hitro zaključimo, da se zdi, da kritična točka ustreza sedežu: