Odgovor:
Sedežna točka na izvoru.
Pojasnilo:
Imamo:
# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #
In tako izpeljemo delne derivate. Ne pozabite, če delno ločimo, da bomo spremenljivko razlikovali, medtem ko druge spremenljivke obravnavamo kot konstantne. In tako:
# (delno f) / (delno x) = 2xy-y ^ 2 t in(delno f) / (delno y) = x ^ 2-2yx #
Na ekstremah ali sedečih točkah imamo:
# (delno f) / (delno x) = 0 t in(delno f) / (delno y) = 0 t hkrati:
istočasno rešitev:
# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #
# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #
Zato je pri izvoru le ena kritična točka
# Delta = (delno ^ 2 f) / (delno x ^ 2) (delno ^ 2 f) / (delno y ^ 2) - {(delno ^ 2 f) / (delno x delno y)} ^ 2 <0 => # sedežno točko
Torej izračunamo druge delne derivate:
# (delno ^ 2f) / (delno x ^ 2) = 2y t ;# (delno ^ 2f) / (delno y ^ 2) = -2x t in(delno ^ 2 f) / (delno x delno y) = 2x-2y #
In kdaj
# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #
To pomeni, da je standardni preskus sedla vključujoč in da je potrebna nadaljnja analiza. (To bi običajno vključevalo gledanje znakov funkcije na različnih rezinah ali gledanje tretjega delnega izpita, ki je izven obsega tega vprašanja!).
Ogledamo si lahko tudi 3D ploskev in hitro zaključimo, da se zdi, da kritična točka ustreza sedežu:
Kakšni so ekstremi in sedeži f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Domena definicije: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Ocenite prvi in drugi derivat funkcije: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritične točke so rešitve: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 in kot x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tej točki: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, tako da je kritična točka lokalni minimum. Sedežne točke so rešitve: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 in ker je f '' (x) monotono, lahko sklepamo, da f (x) ) je konkavna navzdol za x <1 / e ^
Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Ta funkcija nima stacionarnih točk (ali ste prepričani, da je f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x, ki ste jo želeli študirati ?!). Glede na najbolj razpršeno definicijo sedlastih točk (stacionarne točke, ki niso ekstremi) iščemo stacionarne točke funkcije v njeni domeni D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0) , y) v RR ^ 2}. Zdaj lahko prepišemo izraz, podan za f, na naslednji način: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Način, kako jih prepoznati, je iskanje točk, ki izničijo gradient f, ki je vektor delnih derivatov: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) Ker je domena odprti niz, ni potrebno iskati z
Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: ("Kritična točka", "Zaključek"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo" ), ((-5 / 3,0), "max"): Teorija za identifikacijo ekstremov z = f (x, y) je: Reševanje hkrati kritičnih enačb (delno f) / (delno x) = (delno f) / (delno y) = 0 (tj. z_x = z_y = 0) Ocenite f_ (xx), f_ (yy) in f_ (xy) (= f_ (yx)) na vsaki od teh kritičnih točk . Zato ocenite Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 na vsaki od teh točk. Določite naravo ekstremov; {: (Delta> 0, "Najmanjši je" f_ (xx) <0), (, "in maksimum če" f_ (yy)> 0), (Delta <0, &