Odgovor:
Rešitev: # (x ~ ~ 106,26 ^ 0, x ~ ~ -106,26 ^ 0) #
Pojasnilo:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # ali
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # ali
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # ali
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # ali
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. Bodisi
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 ali (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 ali
# cos (x / 2)! = 5/4 # od razpona #cos x # je #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # ali
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
Tudi #cos (-53,13) ~ ~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~ ~ 106,26 ^ 0 #
in # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
Rešitev: # (x ~ ~ 106,26 ^ 0, x ~ ~ -106,26 ^ 0) # Ans
Odgovor:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi quad # celo število # k #
Pojasnilo:
Začnimo z zamenjavo # y = x / 2 # znebiti se delnih kotov.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
Prednostna oblika formule kosinusnega dvojnega kota je
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
Nadomestitev, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
To je bolečina za dejavnike, vendar se pojavi malo iskanja
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 ali cos y = -5 / 4 #
Izogibamo se lahko kosinusu izven območja.
#cos y = 3/5 #
Lahko uporabimo formulo dvojnega kota:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
To je pitagorejska trojna #7^2+24^2=25^2# zato lahko poskusimo to napisati kot # arctan (24 ur na dan) ampak to so bolj tuje korenine.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi quad # celo število # k #
Preverite:
Preverili bomo par s kalkulatorjem.
# x = tekst {Arc} text {cos} (- 7/25) približno 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 krat 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Dodamo 360 in ponovno preverite:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 quad # NE DELUJE.
Zaradi polovičnega kota se zdi, da je pravilen odgovor
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi quad # celo število # k #
