Vprašanje # 0df97

Odgovor:

Odgovor na 4 je # e ^ -2 #.

Pojasnilo:

Težava je:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Zdaj je to težaven problem. Rešitev je v zelo skrbnem prepoznavanju vzorcev. Lahko se spomnite definicije # e #:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Če bi lahko omejili mejo kot nekaj, kar je blizu definiciji # e #, bi dobili naš odgovor. Torej, poskusimo.

Upoštevajte, da #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # je enakovredno:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Frakcije lahko razdelimo tako:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Prihajamo tja! Izpostavimo a #-2# od zgoraj in spodaj:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (prekliči (-2)) / (prekliči (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Uporabimo zamenjavo # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Lastnosti eksponentov pravijo: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Torej #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # je enakovredno:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Lastnosti eksponentov prav tako pravijo, da: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

To pomeni, da se to dodatno zmanjša na:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Po definiciji, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; in z uporabo neposredne nadomestitve na drugem mejnem donosu: t

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Torej je rešitev …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #