Kako napišete polinom s funkcijo minimalne stopnje v standardni obliki z realnimi koeficienti, katerih ničle vključujejo -3,4 in 2-i?

Odgovor:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) # z #aq v RR #.

Pojasnilo:

Let # P # je polinom, o katerem govorite. Predvidevam #P! = 0 # ali pa bi bilo nepomembno.

P ima realne koeficiente, torej #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. To pomeni, da obstaja še en koren za P, #bar (2-i) = 2 + i #, od tod tudi ta obrazec za # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X-2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # z #a_j v NN #, #Q v RR X # in #a v RR # ker želimo # P # imeti realne koeficiente.

Želimo stopnjo # P # biti čim manjši. Če #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X-2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # potem #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = vsota (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # tako #deg (Q)> = 0 #. Če želimo # P # najmanjšo možno stopnjo #deg (Q) = 0 # (# Q # je samo resnično število # q #), zato #deg (P) = deg (R) # in to lahko celo rečemo #P = R #. #deg (P) # bo čim manjša, če bo vsaka od njih #a_j = 0 #. Torej #deg (P) = 4 #.

Torej za zdaj, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) q #. Razvijmo to.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) v RR X #. Torej je ta izraz najboljši # P # lahko najdemo s temi pogoji!