Kaj je abelova skupina iz perspektive linearne / abstraktne algebre?

Odgovor:

Abelova skupina je skupina z dodatnim lastnostim skupinske operacije, ki je komutativna.

Pojasnilo:

A skupine # <G, •> # je niz # G # skupaj z binarno operacijo # •: GxxG-> G # izpolnjujejo naslednje pogoje: t

1. # G # je zaprto Spodaj #•#.

   Za vse # a, binG #, imamo # a • b v G #

2. #•# je asociativno.

   Za vse # a, b, cinG #, imamo # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # vsebuje element identitete

   Obstaja # einG # tako, da za vse # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. Vsak element # G # ima inverzna v # G #

   Za vse # ainG # obstaja #a ^ (- 1) inG # tako, da # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Skupina naj bi bila Abelian če ima tudi to lastnino #•# je komutativna, to je za vse # a, binG #, imamo # a • b = b • a #.

Skupina # <ZZ, +> # (cela števila s standardnim dodatkom) je abelova skupina, saj izpolnjuje vseh pet zgoraj navedenih pogojev.

Skupina # GL_2 (RR) # (niz obrnjenih # 2 "x" 2 # matrike z realnimi elementi skupaj z množenjem matrik) ni abelejsko, saj, čeprav izpolnjuje prve štiri pogoje, množenje matrik med obračljivimi matrikami ni nujno komutativno. Na primer:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

ampak

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#