Polmer kroga, vpisanega v enakostranični trikotnik, je 2. Kaj je obod trikotnika?

Odgovor:

Območje je enako # 12sqrt (3) #

Pojasnilo:

Obstaja veliko načinov za reševanje tega problema.

Tukaj je eden izmed njih.

Središče kroga, vpisanega v trikotnik, leži na presečišču simetralnih kotov. Za enakostranični trikotnik je to ista točka, kjer se križajo tudi njene višine in mediane.

Vsako mediano delimo s presečiščem z drugimi medianami v sorazmerju #1:2#. Torej so simetrali mediane, višine in kota enakovrednega trikotnika enaki

#2+2+2 = 6#

Zdaj lahko uporabimo Pitagorov izrek, da najdemo stran tega trikotnika, če poznamo njegovo simetralno višino / sredino / kot.

Če je stran # x #, iz Pitagorovega izreka

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Od tega:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Območje je enako trem stranicam:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Odgovor:

Območje je enako # 12sqrt (3) #

Pojasnilo:

Druga metoda je spodaj.

Predpostavimo, da je naš enakostranični trikotnik #Delta ABC # in je središče vpisanega kroga # O #.

Narišite simetralno sredino / altitude.angle iz vozlišča # A # skozi točko # O # dokler se ne seka stran # BC # na točki # M #. Očitno je, # OM = 2 #.

Razmislite o trikotniku #Delta OBM #.

To je prav od #OM_ | _BM #.

Kot # / _ OBM = 30 ^ o # od # BO # je simetrala kota # / _ ABC #.

Side # BM # je polovica strani # BC # od # AM # je mediana.

Sedaj lahko najdemo # OB # kot hipotenuza v pravokotnem trikotniku z enim akutnim kotom # 30 ^ o # in cathetus nasproti njemu #2#. Ta hipotenuza je dvakrat daljša od tega katetusa #4#.

Ob hipotenuzi # OB # in cathetus # OM #, poišči drugega katetusa # BM # po pitagorejski teoremi:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Zato,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Obod je

# 3 * BC = 12sqrt (3) #