Kako dokazati, da je serija konvergirana?

Odgovor:

Konvergira s preskusom za neposredno primerjavo.

Pojasnilo:

Lahko uporabimo Direct Comparison Test, kolikor imamo

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, serija se začne pri eni.

Če želite uporabiti Direct Direct Test za primerjavo, moramo to dokazati # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # je pozitiven # 1, oo) #.

Prvič, upoštevajte, da na interval # 1, oo), cos (1 / k) # je pozitiven. Za vrednosti #x # cosx # je v prvem kvadrantu (in zato pozitivno). No, za #k> = 1, 1 / k tako, #cos (1 / k) # je resnično pozitiven.

Poleg tega lahko rečemo #cos (1 / k) <= 1 #, kot #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Potem lahko definiramo novo zaporedje

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # za vse # k. #

No, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

To vemo, da se konvergira # p- #serija test, je v obliki # sum1 / k ^ p # kje # p = 2> 1 #.

Potem, ko se večja serija konvergira, morajo tudi manjše serije.

Odgovor:

Konvergira se s testom neposredne primerjave (za podrobnosti glej spodaj).

Pojasnilo:

Spoznajte, da je obseg kosinusa -1,1. Oglejte si graf #cos (1 / x) #:

graf {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Kot lahko vidite, največ Vrednost, ki jo bomo dosegli, bo 1. Ker tukaj poskušamo dokazati konvergenco, nastavimo števec na 1, tako da:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Zdaj, to postane zelo preprost problem neposrednega primerjalnega testa. Spomnimo se, kaj opravlja test neposredne primerjave:

Vzemimo poljubno serijo # a_n # (ne vemo, ali konvergira / odstopa) in niz, za katerega poznamo konvergenco / divergenco, # b_n #:

Če #b_n> a_n # in # b_n # konvergira # a_n # tudi konvergira.

Če #b_n <a_n # in # b_n # nato odstopa # a_n # prav tako odstopa.

To funkcijo lahko primerjamo z #b_n = 1 / k ^ 2 #. To lahko naredimo, ker vemo, da se konvergira (zaradi p-testa).

Torej, od takrat # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, in # 1 / k ^ 2 # konvergira, lahko rečemo, da serija konvergira

Toda počakajte, dokazali smo le, da se ta serija konvergira, ko je števec = 1. Kaj pa vse druge vrednosti #cos (1 / k) # lahko vzamete? Ne pozabite, da je 1 največ vrednost, ki bi jo lahko imel števec. Torej, ker smo dokazali, da to konvergira, smo posredno dokazali, da se je ta serija konvergirala za katero koli vrednost v števcu.

Upam, da je to pomagalo:)