Polmer dveh koncentričnih krogov je 16 cm in 10 cm. AB je premer večjega kroga. BD se dotika manjšega kroga, ki se ga dotika na D. Kaj je dolžina AD?

Odgovor:

#bar (AD) = 23,5797 #

Pojasnilo:

Sprejem izvora #(0,0)# kot skupni center za # C_i # in # C_e # in kliče # r_i = 10 # in # r_e = 16 # točka dotika # p_0 = (x_0, y_0) # je na križišču #C_i nn C_0 # kje

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

tukaj # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Reševanje za #C_i nn C_0 # imamo

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Odštejemo prvo od druge enačbe

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # tako

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # in # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Končno je iskana razdalja

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

ali

#bar (AD) = 23,5797 #

Pojasnilo:

Če #bar (BD) # je tangenta na # C_i # potem #hat (ODB) = pi / 2 # tako da lahko uporabimo pitagore:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # določanje # r_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Točka # D # koordinate, klicane # (x_0, y_0) # pred izračunom zahtevane razdalje #bar (AD) #

Obstaja veliko načinov za to. Druga metoda je

# y_0 = bar (BD) sin (klobuk (OBD)) # ampak #sin (klobuk (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

potem

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # in

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Glede na dane podatke je zgornja slika narisana.

O je skupno središče dveh koncentričnih krogov

#AB -> "premer večjega kroga" #

# AO = OB -> "polmer večjega kroga" = 16 cm #

#DO -> "polmer manjšega kroga" = 10 cm #

#BD -> "tangenta na manjši krog" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Let # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

V #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Uporaba kosinusnega prava v. T #Delta ADO # dobimo

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58 cm #