Kakšne so pogoste napake, ki jih učenci naredijo z elipso v standardni obliki?

Standardni obrazec za elipso (kot ga učim) izgleda tako: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) je središče.

razdalja "a" = kako daleč desno / levo se premakne iz središča, da bi našli vodoravne končne točke.

razdalja "b" = kako daleč gor / dol se premakne iz središča, da bi našli navpične končne točke.

Mislim, da pogosto študenti to pomotoma mislijo # a ^ 2 # je, kako daleč stran od centra, da bi določili končne točke. Včasih je to zelo velika razdalja za potovanje!

Prav tako mislim, da se včasih študenti pomotoma pomaknejo navzgor / navzdol namesto desno / levo, ko uporabljajo te formule za svoje težave.

Tukaj je primer za pogovor o:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Središče je (1, -4). Premaknite se desno in levo "a" = 2 enoti, da dobite vodoravne končne točke pri (3, -4) in (-1, -4). (glej sliko)

Premaknite se navzgor in navzdol "b" = 3 enote, da dobite navpične končne točke na (1, -1) in (1, -7). (glej sliko)

Ker je a <b, bo glavna os v navpični smeri.

Če je a> b, bo glavna os potekala v vodoravni smeri!

Če želite izvedeti kakšne druge informacije o elipsah, zastavite drugo vprašanje!

(Zmeda glede tega, ali # a # in # b # predstavljajo večji / manjši polmeri ali. t # x #- & # y #-radii)

Spomnimo se, da je standardni obrazec za elipso izviru je

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Vendar pa bodo nekateri že imeli težave z zgornjo formulo. To imajo nekatere miselne šole # a # vedno mora biti večja od # b # in tako predstavljajo dolžino velikega polmera (tudi če večji polmer leži v navpični smeri, kar omogoča # y ^ 2 / a ^ 2 # v takem primeru), drugi pa menijo, da mora vedno predstavljati # x #-radius (tudi če # x #-radius je manjši polmer).

Enako velja za # b #, čeprav obratno. (to nekateri verjamejo v to # b # vedno mora biti manjši polmer, drugi pa verjamejo, da mora vedno biti # y #-radius).

Poskrbite, da boste vedeli, katero metodo najraje uporablja vaš inštruktor (ali program, ki ga uporabljate). Če ni močne preference, se preprosto odločite sami, vendar biti v skladu z vašo odločitvijo. Spremenite svoj um na pol poti med nalogami in stvari bodo postale nejasne in spremenile vaš um na pol poti skozi eno problem bo samo pripeljal do napak.

(Zmešanost polmera / osi)

Zdi se, da večina napak v elipsah izhaja iz te zmede glede tega, kateri polmer je večji in kateri je manjši. Druge možne napake se lahko pojavijo, če zamenjamo večji polmer z glavno osjo (ali manjšim polmerom z manjšo osjo). Glavna (ali manjša) os je enaka dvakratnemu večjemu (ali manjšemu) polmeru, saj je v bistvu velik (ali manjši) premer. Odvisno od koraka, kjer pride do te zmede, lahko to povzroči hude napake v merilu za elipso.

(Polmer / radij kvadrat zmedenost)

Podobna napaka se zgodi, ko študentje pozabijo, da so imenovalci (# a ^ 2, b ^ 2 #) so kvadrati polmerov in ne sami polmeri. Ni redko videti študenta s problemom, kot je npr # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # pripravi elipso z # x #-radius 9 in # y #-radius 4. Poleg tega se lahko to zgodi v povezavi z zgornjo napako (zmedeno polmer za premer), kar vodi do rezultatov, kot je študent z zgornjo enačbo, ki nariše elipso z velikim premerom 9 (in s tem večji polmer 4.5), namesto pravilnega velikega premera 6 (in velikega polmera 3).

(Hiperbola in zmeda Ellipse) OPOZORILO: Odgovor je dokaj dolg

Druga razmeroma pogosta napaka se zgodi, če napačno zapomnimo formulo za elipso. Natančneje se zdi, da se najpogostejši od teh napak pojavijo, ko pomešamo formulo za elipse s tistimi za hiperbole (kar je, opozorilo, # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # ali # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # za tiste, ki so centrirani na izvoru, znova pa veljajo zgoraj navedene konvencije označevanja osi). V ta namen se spomnite definicije elipse in hiperbole kot stožnice.

Natančneje, spomnite se, da je elipsa mesto točk, povezanih z dvema žariščema # f_1 & f_2 # ob glavni osi tako, da za poljubno točko # p # na mestu, oddaljenost od # p # do # f_1 # (označeno # d_1 #) plus razdalja od # p # do # f_2 # (označeno # d_2 #) enaka dvakratnemu večjemu radiusu (tj. če # a # je glavni radij, # d_1 + d_2 = 2a #). Nadalje je razdalja od središča do ene od teh žarišč (včasih imenovana pol fokalna ločitev ali linearna ekscentričnost), ob predpostavki # a # je večji polmer, enak #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Nasprotno je hiperbola mesto točk, povezanih z dvema žariščema na tak način, da za točko # p # na mestu, absolutna vrednost Razlika med razdaljo točke do prvega žarišča in razdaljo točke do drugega žarišča je enaka dvakratnemu večjemu radiusu (tj. # a # velik radij, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Nadalje je razdalja od središča hiperbola do ene od teh žarišč (spet včasih imenovana linearna ekscentričnost in še vedno predpostavljena) # a # večji polmer) je enak #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

V zvezi z opredelitvijo stožnic, celotno ekscentričnost # e # odseka določa, ali je krog (# e = 0 #), elipse (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #), ali hiperbola (#e> 1 #). Pri elipsah in hiperbolah lahko ekscentričnost izračunamo kot razmerje med linearno ekscentričnostjo in dolžino velikega polmera; tako za elipso bo #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (in torej nujno manj kot 1), in za hiperbolo bo #e = sqrt (^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (in zato nujno večji od 1).