Odgovor:
Mislim, da enačba ni veljavna. Domnevam #abs (z) # je funkcija absolutne vrednosti
Pojasnilo:
Poskusite z dvema izrazoma, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Zato
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Morda mislite na trikotno neenakost za kompleksne številke:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | + | z_2 | + … + | z_n | #
To lahko skrajšamo
# | vsota z_i | le sum | z_i | #
kjer so zneski #sum_ {i = 1} ^ n #
Lema. # besedilo {Re} (z) le | z | #
Pravi del ni nikoli večji od velikosti. Let # z = x + iy # za nekaj resničnih # x # in # y #. Jasno # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # in s kvadratnimi koreninami # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Velikost je vedno pozitivna; # x # lahko ali ne sme biti; tako ali tako ni nikoli več kot velikost.
Uporabil bom overbar za konjugat. Tukaj imamo realno število, kvadratno velikost, ki je enaka zmnožku konjugatov.Trik je, da je enak svojemu resničnemu delu. Pravi del vsote je vsota realnih delov.
# | vsota z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = besedilo {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i tekst {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Po naši lemi in velikosti izdelka, ki je zmnožek magnitumov, magnituda konjugatov je enaka,
# | vsota z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Lahko prekličemo en faktor velikosti vsote # | sum z_i | #, ki je pozitivna in ohranja neenakost.
# | vsota z_i | le sum | z_i | #
To smo želeli dokazati.
